INT HO DICTION

En circt, soit a<^c<^b\ je dis <jiic l'on peut choisir II assez petit pour que, h étant moindre en valeur absolue que II, ou ait en valeur absolue

t étant une rpiantilé donnée quelconcpic. En effet, si l'on ne pouvait pas satisfaire à cette inégalité [)Our une certaine valeur donnée de s, c'est que /(.?") ne pourrait pas passer par les valeurs comprises entre y (c) ety"(c)-|-£, car f{jc), étant croissant avec x^ ne pourrait pas passer par ces valeurs pour x<^c\\'\ pour x'^c; puisque, /(c -|- h) étant plus grand que f{c) -r- t ou égal à /{c) -j- £, pour des valeurs de x plus grandes que c -^ h , J\x) sera encore plus grand : donc on devra pouvoir satisfaire à (i) ety"(x)sera continu.

Ainsi, par exemple, si a^o, ^ variant de o à co , x' croît, et, comme on peut toujours prendre x"^ = |j., u étant positif, on peut en conclure que j;"est continu pour les valeurs positives de X, car x" a d'ailleurs une valeur déterminée pour chaque valeur de x.

Remarque. — Si f{x) est conliini pour toutes les valeurs de X voisines de c, la limite de j\c -f- h) quand h tendra vers zéro, ou de f{x) quand x tendra vers c, seraf{c). En effet, /(:r) étant continu pour j: = r, /(c+ A) — /(c) peut être rendu moindre que s; donc-

lim[/(c-A)-/(c)] = o ou liin/(c-i-/0=/(c).

Ceci permet de démontrer très simplement que la somme ou le produit de plusieurs fonctions continues est continu, que le quotient ou la différence de deux fonctions continues est continu, que si f{u, v) est fonction continue de a et de v^ u et v étant fonctions continues de x,f est aussi fonction continue de X.

Démontrons seulement cette dernière proposition, qui résume les autres :

Changeons x cnx -H A, a deviendra u 4- y- «'t ^' deviendra

G ciiArnm: i.

,. |[i; a cl i^ loiulionl \crs y.rvo, d'a\)VÎ-s noire iriiiar(HU". pour // = o; mais, / élanl conliini par raj)i)orl à // li r, /•^,/ ) 3-, (H- 1^) tlifi'i'rcra 1res pou (\r /{(/, r H- P), lequel dlllèro aussi 1res peu clc/(f/, r) : donc f{i/ -I- a, r + [3) a pour liniile f{it,v) quand a et ^i tendent vers zéro, c'est-à-dire quand A tend vers zéro. Cela revicnl à dire (pic /(//,») esl continu par rapport à ,r.

J'ai développé ces démonsUalions dans mon Tnuli' <V y\lîièbre, mais je crois devoir les reproduire dans celle liilrodnelion, (jui est faite pour combler les lacunes qui existenl i;ént'ralemenl dans les Traités d'Algèbre, rédigés conformément aux programmes officiels.

yi III. — Continuité des fonctions imaginaires (').

Nous appellerons, avec Caucliv, fonction (F une variable imaginaire X ^y\l — ^ loule expression di' la forme

Xm-Yv/ —

où X et Y sont fonctions de .r et r. Plus lard nous restreindrons la généralilé de celte définition : nous dirons que la fonction X H-^v/ — i est continue si X cl \ sont des fonclions continues de x et de r^ 11 en résulte que, si /(xH-ry' — \) est fonclion continue de x -\- r si — i, on devra pouvoir prendre H et R assez pelils pour que, h et /. étant moindres en valeur absolue que 11 cl K, on ait

inn.l 1 /■( ./•-. A- 7H A f-~^) -/(^•--..-'V~^)]< ^>

(') Je préviens le lecteur que, pour moi, \ —i n'est pas une quantité qui élevée au carré donne — i, el je ne conviens pas de faire usage de ce signe \r^i en vertu de lu généralité de r.4/^'r^/e. Plusieurs théories ^/'cs rigoureuses des imaginaires ont élé données par Caucliy. On peut, par exemple, considérer les égalités entre imaginaires comme des congruences relatives au module i- H- i. (Voir mon Algèbre.)

IN rUODICTION. 7

ciir celle inégnlilr re\ iciil à

ino(l[\{./' //. .r-HÂ-) ~\(T,y)

or, X cl ^ élanl coiiliiuies, les (lifTcrcnccs qui soiil enlic

les croclicls peuvcnl èlre rendues moindres que - : donc le

modulodc leur somme sera moindre que s. La réciproque est évidente, car le module d'une imaginaire ne peut être très petit que si chacune de ses parties est très petite.

11 est clair aussi que, si une fonction est continue^ son ai gument et son module sont continus, et vice versa.

J IV. - Sur la représentation géométrique des imaginaires.

Une imaginaire .r+j>'\ — i ou x-\-}-i peut être représentée par le point qui, par lapport à deux axes rectangulaires, fixes, a pour coordonnées x clj-; clvice versa, tout point de coordonnées x,y peut servir à représenter géomélriquemenl, riniaginaire :r +j)'\ — i. Caucliy appelle l'imaginaire

Vafjixe du point (x, y).

Quand nous dirons que le point .2" +j' y — i décrit une courbe C, il faudra entendre par là que le point (.z',j') qui a pour affixe rimaginaire x -\-y \j — i décrit celte courbe.

Posons

X'-yJ — 1 -: /• (cosO - y' isinO)

ou bien, ce qui rexicntau même,

a7:-;/'CosO, y -- r •s\\\^\ .

r et 0 seront le module et l'ai'gument <\^x -\- y y/ — i ; ce seront aussi les coordonnées polaires du point (x, ^)'); /'et 6 pourrontcommexetr servir à représenter riniaginairejc-|- j'y/ — i . Ainsi une imaginaire pourra être représentée par une droite

s CIlAl'ITUE I.

("gale à son niodulo, faisant avec un axe fixe un angle égal à son argument. Lavanlage de ce mode de représentation résulte du théorème suivant:

La sonunr de plusieurs imai^iiiaires est représentée par la résultante (les droites qui représentent ces imaginaires.

En effet, soient

•^-^J\/— '' ar'-i-jV— i> x" -.- y" \/ — \ , ... des imaginaires;

leur somme; x^y sont les projections sur les axes de coordonnées de la droite /• qui représente x-\-y\/ — i, ...; donc X -^ x' -^ x' -^ . . . est la somme des projections des droites qui représentent les imaginaires en question sur Taxe des X : c'est la projection de leur résultante sur cet axe; y +y' -\-y' -\-. . . serait la projection de la même résultante sur l'axe des 7', ce qui démontre le théorème.

Corollaire. — Le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties.

j y. — Notions sur les infiniment petits. — Nouvelle définition

de la continuité.

Nous appellerons (^wd^nùlé in finiment petite on inji/ii/nent petit toute quantité variable a^^ant pour limite zéro.

Nous appellerons quantité infinie toute quantité variable que l'on pourra prendre plus grande que toute quantité donnée.

Nous avons souligné à dessein le mot variable. Il n'y a pas de quantité fixe infinie ou infiniment petite; zéro n'est pas infiniment petit, parce que zéro est fixe.

On Tait usage des mots que nous venons de définir pour

INTUODLCTION. 9

abréger le langage et pour siin[)lirier eerlaines lociilions. Par exemple :

l" On (lil que - est iiilini puur j: = o ou cpiand .r Icml

vers zéro : c'est une manière abrégée d'énoncer ce lait, f[ue croît au delà de toute limite et peut être pris plus grand fpi'une quanlilé»donnée(]uelconf|ue quand .r s'approche de zéro sulfi-

samment. On dit aussi que - est infiniment grand quand x est infiniment petit.

2" On ilira que .f-, .r''. . . . sont infiniment petits en même temps ([ue .r, au lieu de dire que x-, x', . . . ont pour limile zéro quand x a lui-même pour limite zéro.

3' Il est absurde de dire que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini : deux droites parallèles ne se rencontrent pas du tout. De pareilles locutions échappent parfois, je dirai même sont employées assez volontiers pour abréger le langage; nous les emploierons le plus tard possible et seulement quand le lecteur sera ("aniiliarisé avec la notion infinitésimale. Voici maintenant à quel propos on peut dire que deux parallèles se rencontrent à linfini.

Je suppose que D soit une droite fixe; si autour d'un point A pris en dehors de D on fait tourner une droite D' de manière à lui faire faire avec D un angle a de plus en plus petit, le point d'intersection de D et D' s'éloignera indéfiniment du point A; sa distance au point A est donc infime quand Van^ile a est infiniment petit.

On dit alors que les deux droites devenues parallèles se rencontrent à Vinfini.

En acceptant les définitions que nous venons de d(jnner, on peut dire qu'une fonction continue est une lonctioii qui prend toujours un accroissement infiniment petit quand on donne à sa variable un accroissement infiniment petit quelconque.

Cette nouvelle définition a seulement sur celle que nous avons donnée plus haut l'avantage de la concision; mais d ne (aut pas oublier, pour l'exactitude, de dire que l'accroisse-

I() CM API THE I. — IMKOmrriON.

mcnl (le la variable csL un iiiliniincnl pclil (|iielc»)nquc : ce (iiii vont dire que raccroisscment de la lonetion tend vers zéro, de rjurhjnr nuinièrc que Ton lasse tendre vers zéro raccroissemenl correspondanl de la ^ariable.

Ces définilions conviennent aux quantités imai;inaires eoniine aux quanlilés réelles; disons seulement qu'nne (juanlilé imaj;inaire est inlinie quand son module est infini et (iirelle esi infiniment pelile quand son module est infiniment |ielil.

Rappelons, en terminant celle Introduction, un principe sur lequel nous avons fn'quemmenl l'occasion de nous appuver.

Lorscjirane rj un utile eafiablc croît, sans dépasser une tjuantité fixe, elle a une limite égale ou inférieure à celte quantité yixe.

Quand une quantité vari(/ble décroît, sans de^'cnir inférieure à une quantité fixe, elle a une. limite égale ou supérieure et cette quctntité fixe.

TIIÉORII^ Or'XKRALE DES SÉRIES.

J 1. — Définitions.

On appelle série une siiilo illimilé*^ fie termes qui se (ormenl cl se suivent daprès une loi (l('termin''e. ()ii appelle encore les séries suites infinies.

Une série est convergente quand l,i soinnic de ses // prejniers ternies tend vers une limite déterminée, lorsque n augmente indéfiniment, en suivant du reste une loi quelconque; cette limite est ce que Ton appelle la valeui- de l;i série ou la somme de ses termes.

Une série qui n'est pas convergente est appelée di\ergenle . La série

( ao — 2] ) -- ( Xj — ao ) — ( 22 — 2j j - - ( 'J-i — '^; ; — ...--( a..,i — a,., ) —

dans laquelle a„ désigtie un nombre qui a pour limite zéro, lorsque n augmente indéfiniment, est convergente, car la somme de ses n premiers termes est 7-0 — a„. et cette quantité a pour limite a,, pour u z= zc . Au contraire, la série

est divergente, car la somme de ses n premiers termes est alternativement zéro et i ; elle ne tend par conséquent pas vers une limite déterminée lorsque n croît d'une manière quelconque.

On comprend difficilement comment dillustres analvsles ont pu écrire des formules telles que

\?. en API TUE II.

(Leibmtz, Lettre à Christian Wolff. — Euler, liistitutiones Calculi diffcrentialis et integralis, Pars poslerior, Cap. I, etc.).

Une srric divergente ne saurait représenter -• En efTet,

(pielle idée peut-on se faire d'une somme composée d'un nond)re illimité de parties? En toute rigueur, on n'a pas même le droit < lé e rire

(i) ao = (ao — a,)~(ai — ao)^- . .. H-(a„ — a„+,)— . . .

lorsque a„ tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque la série est convergente. On le fait cependant, mais seulement en vertu d'une convention qui consiste à séparer une série convergente de la limite vers laquelle tend la somme de ses termes par le signe =. Ainsi la formule ( i ) est une manière abrégée d'écrire

ai, = lim[(ao— aj)-^- . . . — (a„ — 'Xn^i 'J P'-'ur /i = x .

La formule (A) est donc absurde, puisque la limite de la somme de ses n premiers termes n'existe pas : cette limite

n'est donc pas égale à -•

i II. — Théorèmes sur la convergence.

TnÉoniiME I. — Pour qu'une sé)-ie soit convergente, it faut que ses termes diminuent indéfiniment jusqu'à zéro.

En effet, soit la série

Soit, en général, s,i la somme des /* premiers termes; on a

( I ) 5„-ui — S,i = Un.

Si l'on suppose la série proposée convergente et si l'on désigne sa valeur {)ar 5, on aura

lim.ç,,^, = -s I i m Su = s ;

TIlfiORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. l3

donc

liin5„H, — liiii5„ — \'\m{s,i^\ — *«) = o.

Donc, en vcrlii de ( i ),

iiin u,, ^= o.

Remarque 1. — La dénionslralion que nous venons d'cmplover, comme du reste toules celles que nous emploierons dans lexposilion de ces principes, est basée sur le calcul des limites; elle précise le sens que nous devons attribuera la locution diminuer indéfiniment. Quand nous disons que Un doit diminuer indéfiniment, nous devons entendre par là que cette quantité, réelle ou imaginaire;, doit avoir zéro pour limite, rien de plus : ainsi u,i peut tendre comme on veut vers zéro ; il n'est nullement nécessaire, par exemple, que l'on ait

Un ^ • "rt-i-l 1 Uii^i 1-- ....

Remarque II. — ■ On aurait également pu écrire les équations suivantes :

liiii5„^y, :^ s.

liiiis,,, = s; d'où, retranchant la deuxième de la première,

liai Un - ■ Un^l — «rt-H2 - • • . — Un^p-i = O .

ce qui conduit à ce résultat :

Puur qii une série soil convergente, il faut que lu somme des p termes qui suivent le n'^"^" ait pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, quel que soit du reste p.

Remarque III. — Il existe des séries dans lesquelles u„ peut tendre vers zéro sans que la série à laquelle appartient ce terme soit convergente; l)ar exemple, considérons la série suivante, appelée série harmonique :

I 1 CII.V IMTUi: II.

II est lacilo do s'assiiror (|uo celle série est divcrj^ente, car, si Ton prciul // Icrincs opiès le //"""", la somme

esl plus grande «luo — répelé // lois, c'esl-à-dire (iiie-- Si tlonc t)ii ;;roii[)e les lennes de la série liariii()iii(|iie ainsi (jii il suit :

Il - I II - \>.

on voit (|iie la somme de ses in premiers lermes est plus i;rande (pie - répélé autant de lois que Ton \ eul. En prenant n sulïisanunent i;rand, la somme de ces m premiers lermes croît donc au delà de toute limite; donc la série est divergente, c. Q. F. D.

Il arrive souvent que l'on rend une série convergente par un simj)le changement des signes de quelques-uns de ses lermes. Ainsi la série