XII. — Formule de Lagrange

Nous allons appliquer les considérations précédentes à la démonstration d'une formule célèbre donnée par Lagrange.

1 8o c II A r 1 T II i: vu.

Celle formule a pour bul de fournir les cléments du calcul d'une racine de l'équalion

dans laquelle z esl l'inconnue. Pour trouver la racine z-, on peut la développer par la formule de Taylor, en la considérant comme une fonction implicite de /. On a

celle équalion donne

dt ^-tj\z)

(Pz En différentiant encore l'équation (2), on inlroduirail -t—^

que Ton pourrait calculer; mais en continuant ainsi il paraît difficile d'obtenir la loi de formation des dérivées de ^ ; on obtient une formule plus élégante en introduisant dans la question, comme l'a fait Lagrange, les dérivées de z relatives à X. En difterenliant (i) par rapport hx, on a

dz dz

ou

dz I

dx i-tf{z)' la comparaison de cette formule avec (3) donne dz dz . ^

(4) dï-T.^^'-^^

de sorte que, pour différcntier z relativement à /, on peut se borner à différcntier par rapport à ^ et à multiplier le résultat par /(;:). Cette formule peut se généraliser et il est facile de voir que

dil"^^"' dx\ dx\^'''diy

ce qui se vérifie en effectuant les différentiations indiquées.

On a en effet

,, .dz dz , s ^^-

dt dx ' dx dt

DÉTERMINANTS FONCTIONNELS ET FONCTIONS IMPLICITES. l8l

pour la valeur de chacun des deux membres de la l'ormule précédente. En appliquant cette remarque à l'équation (4), on a

dl"- "" dl Y^ KLr\ dx Y^ ' dt J

dxY ^ ' dx\ En différentiant de nouveau, on a

1^ -"diliy ^•'\ix\ - dx^ Y ^"Kii \

dfi

et enfin

dt" ~ dx'i-^ Pour / = o, cette formule devient

La formule de ïajlor donne alors

bien entendu, celte formule doit être complétée par le reste

i.2...nd^^^ [^"^""'dt]'

où l'on doit remplacer t par Of. Quoi qu'il en soit, il ne sera pas nécessaire en général de calculer ce reste, et, si t est petit, on pourra faire usage des termes de la formule (6), sauf à vérifier que l'équation (i) est satisfaite.

Si l'on appliquait la méthode d'approximation de Newton à l'équation (i), en prenant x pour première valeur approchée

j • j • tf(-r)

fie ;::,oa aurait pour terme de correction — -—-r, >ou, ensup-

^ i — tj {X) ' t-

posant t très petit,

t/(x)[i -^ tf'ix) -i- r^/Hx) -^ . . .],

l82 CnAPITRE VII.

OU enfin

Employer la formule de Newton, c'est donc employer les deux premiers termes de la formule (G).

La formule (6) n'est qu'un cas particulier de la formule de Lagrange, qui donne le développement d'une fonction quelconque n(:;) de la racine.

On trouve cette formule en calculant -j- n(^); on a, en ayant égard à (4),

dV^ dt

et, en général.

Pour / =: o, on a

la formule de Maclaurin donne alors

n(^) = n(^) + t[U'{x)fix)] ^ — -j^ [n'(x)pix)] + ....

Nous retrouverons ces formules plus loin en leur donnant une précision plus grande. Nous n'en ferons pas d'applications en ce moment, notre but ayant été de donner surtout un bel exemple de différentiatlon des fonctions implicites.

EXERCICES ET NOTES