X. — Caractère des solutions multiples

Considérons un système d'équations

entrer? inconnues, contenant un paramètre variable /; supposons ces équations satisfaites pour j", = ii, Xo = ;,, .. ., t =t. Quand on changera t en t -i- ot, ;,, ^o; • • • deviendront ;, -r- oXi , ^2 + ^-^12 > • '•■, et Ton aura

OU, en vertu de la formule de Taylor,

(2) -^ 0x1 -f- ^ o.r2 -^ . . . -^ -f- of — E/ = o,

£ désignant des termes du second ordre. Si l'on divise par 5/ et si l'on fait ot = o, ces équations fourniront les dérivées x\, .r.,, . . . de Xj, .272, • • • relatives à t pour t^-:, cl, en posant

on aura

à(ou

àCu

rJA

ao.

'ÔÎt'

Cela n'aura plus lieu si A = o. Supposons donc que A = <» L. — Traité d'Analyse, I. 12

1^8 ciiAPiTUE vu.

sans aulrc condition; en mullipliant (2) par — — , en faisant

/ = 1 , 2,3, ... cl ajoutant les résultats, on a

(3) ^^iiiV'^- / o'^\^'

1° En général, le coefficient de ot est différent de zéro; alors 0^ est du même ordre que les carrés et les produits de ox^, Ôj:'2, . . .; l'équation (3) peut rcm})lacer l'une des équations (2); de n — I de ces équations on pourra tirer oj:".>, 8x3, ..., oxn en fonction de oXf, et, en portant ces valeurs dans (3), cette équation, en négligeant les termes du troisième ordre, fera connaître deux petites valeurs de ojr,, en fonction de ht, ou plutôt deux valeurs des rapports -^ pour ot := o;

y OC

donc, quand on aura A = o, deux solutions des équations (i) seront venues en général se confondre en une seule, ou en urie solution double des équations (i).

2° Le coefficient de ot dans (3) pourra être nul; tout se passera comme auparavant, à cela près que les ox seront de l'ordre de ht.

Maintenant, si A est nul ainsi que ses mineurs du premier ordre, on pourra des n — 2 premières équations (2) tirer 0x3, ox^,, . . . , ox,i en fonction de ox, et 0x0, en les considérant comme équations du premier degré, et porter leurs valeurs dans les équations obtenues en ajoutant (2) après les avoir multipliées par les déterminants mineurs du second ordre de A qui éliminent les ox. Les rapports

ox, o.r., oxi 0T.2

^' '^ "" VT^' Vrt

seront alors racines d'équations que l'on pourra, pour de très petites valeurs de ot, réduire au second degré. En continuant le raisonnement, on voit que A = o est l'indice que plusieurs solutions sont venues se confondre : il y a solution multiple. C'est ce qui explique pourquoi la méthode des fonctions implicites tombe en défaut.

XI. — Sur les déterminants des fonctions implicites. Considérons les équations

/l = 0, /2=:0, ..., fn=0,

entre les variables j>', , jo? • • • j fn et J"i, JC^, • . • , j^^; au lieu de calculer séparément les j-^ > on peut se proposer de calculer le

déterminant

'Hyi^y-i, •••■,yn)

d{Xi, Xi, ...,Xn)

Pour y parvenir, on difTérentie l'équation /",=: o par rapport à X, et l'on a

dxj ' àyi dxj dy^ dxj ' " ' ()y^ ^xj '

d'où Ion tire

-, iLi — 'Vl -^1 -^ Mi ^ ^ ^ è£l ^ .

ùxj dyi ôxj ' àyo dxj ' ' " ' ^y^^ ^xj

Celte équation et les analogues montrent, par l'application de la règle de la multiplication des déterminants, que l'on a

d{xu X.2, ..., x„) O(yi,yo, ...,7„) d{xi, x,, ..., x,,)' d'où l'on tire

d(Xi,x., ...,.?■„) cl(jr,,.r2, ...,Xn) ' «^(ji, J2, • • -, Jn)'

formule analogue à celle qui fournit la dérivée de la fonction y définie par l'équation unique