LEURS DÉUIVÉES ET LEURS DIFFÉRENTIELLES

■^ I. — Définition précise d'une fonction de variable imaginaire.

Soient z=zx-{-y^ — i une variable imaginaire, X et Y deux fonctions de ûc et j'j X+ Y \J — i sera une fonction de jr+ )'y/ — I ; loulefois, on ne considère en Analyse que les fondions ayant une dérivée bien déterminée. Cauchy appelait ces fonctions monogènes. Pour que la fonction X-f-Yy/ — I admette une dérivée bien déterminée, il faut que les fonctions X et Y satisfassent à certaines conditions que nous allons chercher.

La dérivée de X+Y^ — i est la limite du rapport de l'accroissement de X + Y ^/ — i à raccroissement correspondant dx -\-.cIy \l — I de sa variable, quand dx et dy tendent vers zéro. La dérivée cherchée peut donc se mettre sous la forme

,. AX + AYv/^ , ,

lim pour dx = o, rtj' = o.

dx -i- dy \J — I

Si l'on néglige des termes du second ordre, on trouve pour celte limite

dx -r- dy \J — I

d>X dx

dx -i. dy -i- i/— I ( -T- dx -\- —- dy ]

dx -1- dy /— I Cette dérivée dépend du rapport -j- et par suite elle est indé-

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terminée en général. Pour qu'elle ne soil pas inJélcrminéc, ou pour qu'elle ne dépende plus du rapport —■> il faut et il suffit que

OU que l'on ait à la fois en égalant les parlies réelles et les coefficients de \l — i

dx ùy dy dx

Telles sont les relations nécessaires el suffisantes pour que X + Yy — I ait une dérivée; dans ce cas, d'ailleurs, la dérivée est égale à l'une quelconque des deux expressions

dx I — àx fdX , — d\\ I —

dx ^ dx \ ôy ùy j

plus généralement la dérivée est égale à

f)X , ÙX . , (èX . dX ,

ôx '^y \àx dy "^

dx + dy y/ — I

quel que soit le rapport-^- On peut donc supposer j' et x fonctions de t et dire que la dérivée est égale à

d\ , â\ , I [dX , dX

dx dy -^ ^ \ dx dy -'

x' ç,\, y désignant les dérivées de x et/ relatives à /, ce que l'on peut écrire

dt ^ dt ^~'

x' -\-y' sr^\

^\\. — Calcul de quelques dérivées.

Les règles données pour prendre les dérivées d'une somme d'un produit, d'un quotient d'une puissance, d'une fonction