DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
de ronclion, quand la variable est réelle, s'appliquent au cas où la variable est imaginaire; les dénionslralions que nous avons données ne supposent nullement la variable réelle : elles suj)|)0scnt seulement que les dérivées des fonctions sur lesquelles on raisonne existent, à l'exception de la dérivée cherchée.
Nous aurons à revenir sur la dérivée des fonctions composées et sur celle des fonctions e^, ûnx, cos j; et logx.
On a
gx-t-;)v'^ ea:(co5^ -4- ^ — I sin^),
rf.^-^+.vv^ï ^ [eJ-(cos7— v/^sinj)<^.r — ("(— sinj^-/— i cosy)d}'\
= e^^^y-^ {dx-r- dy y/^) <
I 1 . dv
on a donc, quel que soit -j-?
dx -r- dy \J — 1
Donc la dérivée de e-^est e^ lors même que x est imaginaire. On a
/ I \ xdx-^ydv xdy — vdx ,
( dx -^ dy y/^) (.r —y y/— i ) dx -^ dy y/— i . x'—y- x^ysj — 1
donc ^ *"*" "^"^-^ LZ'^est indépendant de ^ et a pour valeur dx -^ dy \J— I "-^
X — J'y/— I Pour trouver la dérivée de cos a:, on observe que
cos^ = ;
par suite,
dcosx e-^""-^ — (.-.n-i
= y' — I = — Sin J".
dx 2
l88 CHAPITIIE VIII.
On trouverait dune façon analogue la dérivée de sinx, de lang.r, ... qui sont monogènes. On en déduira lacilcment celles des fonctions inverses, arcsin^, arccosx, ....
Quoique la fonction «■'" soit peu usitée, si l'on veut en prendre la dérivée, on l'écrira sous la forme C'^ ^"8 '^ et sa dérivée sera logae-^'''^'' ou a^'loga.
La dérivée de .r'" se déduit immédiatement de celle de logj:, comme dans le cas où la variable x est réelle.
Avant de chercher la dérivée d'une fonction composée, nous reprendrons la formule de Tajlor et nous essayerons de la démonli-er pour le cas où la variable est imaginaire.
JlII. — Formule de Taylor.
La formule de Taylor s'applique aux fonctions de variables imaginaires, lorsqu'on les suppose monqgènes. Soit X + Y \J — ■ I une fonction monogène; sa dérivée
d{x^y\/—\) étant indépendante du rapport -j-, peut cire remplacée par
^(X -+- Y v/~) , dx + dy v/~
dt ' dt
t désignant un paramètre quelconque, dont x et jk seront des fonctions arbitraires; si l'on prend / = j?, on a pour
dérivée
r)X àX I •
— -4- — V/— ' • Ox ux
Il est facile de voir que cette dérivée est encore monogène: en effet, on a identiquement
Ox \ Ox I dy \ Ox J Oy \ Ox J Ox\Ox/'
DES FONCTIONS D K VAniAULES IM AG IN AI U E S. 1 89
ce (lonl on s assure on rcniplaranl — par son cfral -— cl — i)ar ; il résulle de ià que les dérivées successives
<))■ 1 (Kl- »
d'une fond ion nionogène sonl toutes uniques et bien déterminées.
Cela posé, observons encore que, si l'on veut prendre la dérivée de/(:?) = f(x -hj'\/ — i) = ^ + ^ y/ — ' par rapport à un paramètre t dont x el y soient fonctions, on aura
(/t ~ ITi ^
cU
dl -J^"^ dt
Cela posé, proposons-nous de développer la fonction f{z) suivant les puissances ascendantes de z. Posons z = rc^^~^ et
Les fonctions o et 'b pouvant d'ailleurs contenir 0, que nous ne mettons pas en évidence pour ne pas compliquer l'écriture, nous aurons
-."(Ir)
•Ko)-
'^'^^^-^•••^r^^TT/^"^:^-'-^
A et [JL désignant des nombres compris entre o el i. Cette Ibrmule suppose seulement l'existence des n premières dérivées dey"(c) pour :; =z o et dans le voisinage de celte valeur. Or, on a
//(.-)= cp (^)^- v/=:T 'H'-) =/ ('■^'^^'^)
tp"(/-)-^V^—^ '}"('■) — f"(re'>'-^)e"^''-i
IQO nnAPITRE VIII.
portant ces valeurs dans (i), on a ce qui peut s'écrire
e-nW-i[on(^lr)^^P^'l"{lxr)].
Cela posé, soit R» la plus grande valeur que puisse prendre le module de/"(;) ou de /"(^^^cV" (ce qui est la même chose) quand le module de :; varie de o à r, soit
on aura, en vertu de (2),
donc
cp«(r) = p cos(a -i- nO),
6''(/-)= p sin(a-4- «0); donc
et par suite aussi
'f«(Xr)5R„, 6''(|x/-)SR„, donc enfin
v/[s«(Xr)]2 + [<>«(|xr)]2 ou mod['^''(Xr)-^v/~6"([jL/-)] <R„ /i,
et la formule (3) peut s'écrire
Rrt désignant le module maximum de /''(:;) quand le module de la variable reste inférieur pu égal à celui de ^ et £ désignant une imaginaire dont le module est au plus égal à i.
