VI. — Discussion des résultats précédents

L'équation en s a toutes ses racines réelles; voici la démonstration que Lagrange donne de cette proposition dans sa Mécanique analytique (c'est la première qui ait été donnée; c'est aussi la plus simple).

Soient y,^, y^jj,, ... ce que deviennent yj^, -^rn • ■ • quand on remplace dans (5) s,, par 5^.; multiplions la première for-

Tllf:i>Illi; DES SI BSTITl TIO.XS LINf.VIHES. 2og

mule (j) par Y,jjt, la seconde j)arYj,j; ... la n"""' par y„,j, et ajoutons: nous aurons

(<i) ^ «/7Y'|J-Ï7v— -SvCYiixYiv-;-. . .— Y«!J.Ynv) =-- o.

Nous oljticndrions de même, en changeant <x en v elv en u,

(7) ^ «'>Y'1aY>"' — *ix (YiîaYiv-^- . --^ Y/'IJ-Y/'v) -■= o.

Si l'ccpialion F(5)=o avall des racines imaginaires (en supposant les a/j réels, bien entendu), on pourrait supposer que 5(i et 5v sont deux racines conjuguées, et par suite inégales; les (\eu\ formules (6) et (-) exigeraient alors que l'on eût

c'est-à-dire que la somme des carrés des modules de -'j,^, Yj,^, . . . AU nulle, ou que ces modules eux-mème& lussent nuls, ce qui est absurde puisque, le déterminant ï'{s) étant nul, on peut supposer que les quantités yj,^, Vg,^, ... ne sont pas toutes nulles ; d'ailleurs la somme de leurs carrés est égale à i .

Mais l'équation ¥ (s) = o peut avoir des racines égales;

^ pour reconnaître qu'il peut en être ainsi, formons -y-; on a r/F r)F r)F àF

ds à(^a,i — S) d{a22 — s) '" <Ha,i,i—s)

et, pour que F(5) = o ail une racine double, il faut et il

ds

suffit que l'on ail à la fois F = o, -y- = o. Cette dernière

condition peut s'écrire, en introduisant le facteur -, ,

d{aii—s)

[ àF p

tiF ()F f)F f)F

0{an — s) 0{a,i— s) ' ' o^Ux^ — s) 0(ana— s ) Or on a (p. i()i)

^2 F dF ^F / ,)F \2

rJ(a,,— s)d{au — s) ~ c)(rt,,— 5) ô^aa— s) ~~ \'da^, / '

j)4o CHAPITRE X.

(Toîi l'on conclut ((ne, si F i^ o,

f)F àF / <)F y-

d(aiy — s) dan— s ~ \'^"/i/

La lorinnle (8) de\icnt alors

r .)F "12 / fW y 1 ov y

(Toù Ton conclut que, si F ^^ o a une racine double, tous les mineurs de F sont nuls, et réciproquement d'ailleurs, car alors F'(5) sera nul.

Je dis que, en général, si F (5) a une racine d'ordre de multiplicité A, tous les mineurs d'ordre h — i de F(5) seront nuls. En eflTel :

1° Les mineurs du premier ordre sont divisibles par is — 5')^"'; si F(5) est lui-même divisible par (5 — s')^. Ce théorème est vrai pour A = i; admettons qu'il .ait Heu pour la valeur h — i de l'exposant de s — i'; alors F(5), admettant le facteur {s — a'/', admettra le l'acteur (a- -- .s')'^~' a fortiori, et ses mineurs le facteur [s -s'Y~-\ le premier membre de (9) admettra le facteur [s — s')-^~^, car c'est le produit de F'(5) par un mineur de ^ [s)\ mais, par suite, 11 admet nécessairement le facteur {s ^ s')-^~-, et chaque mineur considéré admet le facteur (s ^ s'y~'.

2° Désignons, pour abréger, —- par a/y et considérons la formule identique (p. 161)

I CL,j a/,y . . . Cl,,j