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et qui ne |)0urrait avoir lieu que si tous les X étaient nuls. Celte démonstration est de Jacobi [OE livres mathématiques, t. III, p. 32), et c'est M. Sylvester qui a donné au théorème précédent le nom de loi de V inertie.
i IV. — Transformation d'une fonction du second degré en général.
En général, on peut transformer une fonction du second degré en une autre donnée a priori au moyen d'une substitution linéaire, et cela d'une infinité de manières.
En etlet, si sur la l'onction ^ (iij.r,\rj à n varial)los, ren-
lerniant — ^ — - coefficients, on eirectuc une substitution li-
néaire, on la transformera en une autre /^ ^ijyi^^'i'^ ^^ écrire
que les bij ont des valeurs données, c est écrire — — — relations entre les coefficients v,y de la substitution au nombre de n'-\ or, on a toujours, pour /? >■ i ,
Ainsi deux fonctions homogènes du second degré peuvent toujours être transformées l'une dans lautrc au moyen d'une substitution linéaire.
AJais cette propriété n'appartient plus aux fonctions ho-
, . • -, , , • c . ?i(n — i)(n -i) mogenes du troisième degré, qui renlerment — :
coefficients, quand elles sont à /i variables, et OTdinairement
Il v a donc une infinité de manières de ramener une fonction \ ctijXiXj à la forme j-^-rj'o-h • • --rj'o? c'est-à-dire à une somme de carrés par exemple, mais ce nombre de manières est fini et même, le plus souvent, égal à i quand on veut que la substitution soit orthogonale.
^ V. Réduction d'un polynôme du second degré à une somme de carrés par le moyen d'une substitution orthogonale.
Considérons le poivnùme homogène et du second degré
2 aijXiXj=f{xi,Xi, r,,)^/.
Si nous eft'ectuons la substitution orthogonale
, •3"l-^Yll7l- Y1272 — ••• '[inVu, I . ) •î-2=Y2lJl Y2272- ••■ — Y2".l'«'
TIIÉORIK l)i:S SLnSTITlTIONS LINÉAIRES. 23"
UÙ
la fonction /prendra la forme
el, si l'on fait
\^ \ Aa pour a = v,
■*" f o pour ;JL : V,
on aura sinnplement
(4) / :A,ji--A,ji-...-A„7^
La fonction /sera donc décomposable en une somme de carrés, s'il est possible de trouver des quantités -'/y satisfaisant aux équations (2) et (3).
Nous ferons, dans ce qui va suivre,
or les formules ( '■] 1, pour '-/-^v, peuvent s'écrire
Tia(«llTlV — «12 727 — .. . )-t-Y2!x(«îr,'lV-^«22T2V— . .. )-r-. .. =0
ou bien
'{i'j.fi('!iy7'!rj' . . . > - Y2u./2(^ Yiv.Y2v, ...)—...= o.
• Comparant cette formule avec la seconde des formules (2), el observant que Ion peut \ faire varier -jl en laissant v fixe, on a
/i<^Tiv^ Y2V- ■ • • ' .fi('ivi- Y2V ••■■' Yiv ~ 72V
Si nous égalons cette suite de rapports à une indéterminée 5v, nous obtenons les équations suivantes, auxquelles nous adjoignons la première formule (2) :
(an— «7)717— «12727 — . . .-- «in7n7= o, «2l7l7— («22 — «7)7îv — • . •— «2n7/iv= o,
f ««1 7l7 — «,72 727 — ...— ( Onn — Sy)-(„; — o,
en
L'éllminalion deyiv, Y2v> • •
en posant
0,il, «Hl
CHAPITUK X.
entre les /i premières équalion.s,
donne
s,, est donc racine de l'équation F(5) = o, que l'on appelle oi'dinairement Véquation en s.
s., une Ibis connu, les Ibrinules (5), ou plutôt n d'entre elles, feront connaître yi^, y^v, • • • ; or, l'équation Y {s) ~ o est du degré n et admet /i racines 5|, ^o, • • • , 5«; chacune de ces racines fera connaître un groupe de n quantités y^y, et le problème sera résolu.
Si Ton nuilliplie la première équation (5) par y,,^, la seconde par y,,;. ... et si Ton ajoute, on trouve, en ayant égard à la dernière,
2 «'yY,v7/v— ^7= O
ou, en vertu de (3),
Ay — 5v =0 ou Av = Sv ; on a donc, en vertu de (4),
