THÉORIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. ^4 I

existera en eflet, les mineurs de F étant différents de zéro ; les équations (5), ou plutôt n — i d'entre elles, fourniront, pour les rapports des quantités v^,^, des valeurs réelles.

Si l'équation F = o a une racine double, les rapports des v-,^ seront indéterminés parce que les mineurs de F seront nuls, mais alors un des rapports v,,^ ; v^,^, . . . pourra être choisi arbitrairement, et la substitution, réduisant F à une somme de carrés, sera possible d'une infinité de manières. L'indétermination serait plus grande encore si F avait une racine d'un ordre de multiplicité plus élevé.

Corollaire. — Si l'on veut savoir en combien de carrés positifs, négatifs ou nuls le polynôme/ est décomposable, il sulfit de former l'équation en 5, F = o, et, comme elle a toutes ses racines réelles, le théorème de Descartes montre que y contiendra autant de carrés positifs que F = o a de variations, et autant de cairés négatifs que F( — 5)^=0 a de variations. Le terme constant de l'équation en s est ce que l'on appelle le discriminant de f.

Voici maintenant les applications immédiates de cette théorie :

i*' Si nous observons que le terme constant de l'équation en s est le discriminant de la fonction /, nous pouvons dire que :

Pour qu'une fonction du second degré homogène de n variables puisse se réduire à une fonction de moins de n variables., il faut que son discriminant soit nul.

En particulier, pour qu'une fonction homogène du second degré à trois variables soit un produit de deux facteurs, il faut que son discriminant soit nul.

2" Pour qu' une fonction du deuxième degré homogène soit un produit de deux facteurs réels linéaires, c'està-dire une différence de deux carrés, il faut que V équation en s n'ait que deux racines différentes de zéro, l'une posilae, l'autre négative.

3° Pour qu'une fonction du second degré homogène soit L. — TraUé d'Analyse, I. iii

2^2 CIIMMTllK X.

un carré parfait, il faut que toutes les racines de V équation en s soient nulles, sauf une.

4" Pour cju^ une fonction du second degré homogène consente toujours le même signe, il faut que rétiualion en s n'ait que des variations, ou bien que sa transformée en — 5 n'ait que des i^arialions ; cette condition est suffisante : dans le premier cas, la fonction reste toujours //ositive; dans le second, elle reste toujours négative, etc.

Celle dernière conclusion esl surlouL ulile dans la lln'orio des maxima.

VII. — Réduction simultanée de deux fonctions du second degré à des sommes de carrés.

Deux polynômes du second degré ^ a-j Xi Xj =if et

7 bij Xi Xj^= g peuvent toujours être ramenés par une

même substitution à une somme de carrés.

En efTel, par une première subslitution oilliogonale, on peut ramener / à la forme 5,j)'^ -f- a'o ri -\- . . .-\- s„j-'j^ , cl g

prend alors une forme telle que 7 (^ij J'iJ'j'i si Ion fail ensuite la substitution

on aura

Une dernière substitution ortliogonalc laissera à/ sa forme, tout en ramenant ^ à une somme de carrés; / et g seront alors tous deux des sommes de carrés.

Maintenant la possibilité de la réduction esl établie ; il ne peut y avoir exception à la règle que sii|,.So, . . . sont nuls, et alors on peut opérer sur g comme on a opéré sury', sinon f ei g ont leurs discriminants nuls cl sont des sommes de moins de n carrés. Dans ce cas, on jicut encore réduire y cl g à des sommes de carrés, en observant que, ces fondions

TIIÉORIK DES SUBSTITUTIONS LINf-AlKES. a/j^

élanl des foiiclions de moins de n vari;d)lcs, on |)eul raisonner sur ces (onctions en mellanl les variables dislincles en évidence.

Pour cirecUicr la réduction simultanée des deux formes à des sommes de carrés, on procède comme il suit.

Pur la substitution

"i Tii.i'i "- T12J2

'{lin J'ily

f el g deviennent respectivement

pourvu que l'on pose

y\ o pour iji > V, •<*" ( A jjL po u r ji. = V ;

(3) X^/yY'!xT<v -= „

.«" ( Dix pour IJL ^ V.

Pour déterminer les v,y, on remarquera que, si ij-^v, ces relations peuvent s'écrire

ÏIIJ- /l (Tiv j 7-'''' . . • > - '(i\l. A ( Y1V1 Yiv. ... I -- . . . =0,

Y" V- 1"^! ( Y»"' I Y^v, . ■ . ) -^ Y2a o'2 ( Yiv î Y2V) •••)-+-•• • ~ o ;

d'où l'on tire

En égalant ces rapports à \, on a

(«11 — ^-6ii)Yiv -+- («12— ^^/-'l2)Y2v-

(«21— À62,)y,v — (ao.— X622)Y2v-I- .

ces équations donneront, en éliminant les y,,^,

«11 — X^ii Oi^ — lhii ... «i« — X/;i„

«21 — X^21 «22 — X^22 ••• Cîri — X^2«

«/^/^ — 'ffj,,,!

244 CIIAPITRi: X.

L'équation A =: o a n racines qui, mises à la |)lace de \ dans (i), feront connaître les rapports de ii sxslèmes des quantités *'/yet par suite feront connaître la substitution dont on a besoin.

Des équations (4) on lire, en multipliant la première par Vj.^j la seconde par y^v, etc., et en ajoutant,

^ <^// Y/v Y/v — '^"j^^iJ Y'V Y/' = O'

c'est-à-dire

A, = Àlîv

Comme jusqu'ici les rapports des v.,^ sont seuls déterminés, on peut achever de déterminer ces quantités en se donnant

B,, B. , et alors ï^^j W^> ... seront les racines de A =0;

ces racines ne sont pas nécessairement réelles.