XXXVIII. - Théorème de M. Poincaré

Proposons-nous de trouver le nombre des solutions comunes aux équations

0(^1 — Cii, ^^2 — C12, . . ., Xp~ Cip) = O, &{Xi C21, X.2 — C.22, . . ., ^p~ C^p) =0,

yy\X\ Cp\ , x>i Cp<i , . . . , X i) Cpp ) — o, contenues dans un prismatoïde des périodes, formules où

A cet effet, appliquons le théorème de M. Rronecker(t. III, p. 190) au système (i) pour un prismatoïde de périodes, et observons que, l'intégrale de M. Kronecker étant fonction con-

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 44l

tiniie des paramètres qu'elle renferme, tant que les fonctions 0 ne s'annulent pas toutes à la fois sur la surface du prismatoïde des périodes, et, même dans cette hypothèse, si une solution sortait du prismatoïde des périodes, en vertu de la périodicité, il en rentrerait une autre. Cette intégrale conserve donc la même valeur entière; nous en profiterons pour faire varier les coefficients aij et ramener la fonction © à la forme

OU

La fonction 0 est alors un produit de fonctions 6 à une seule variable ^ mais, dans un parallélogramme des périodes, la fonction elliptique 0 n'a qu'un zéro : le nombre des solutions communes aux équations (i) sera donc 1.2. 3. . ,p dans le cas particulier que nous examinerons et, par suite, i . 2 . 3 . . . p dans le cas général.

Ce théorème a été démontré par M. Poincaré dans le Bulletin de la Société mathématique de France pour 1 883.

Corollaire. — Il résulte de là qu'un système de/? fonctions de/? variables possédant ip systèmes de périodes communes reprend au moins ( 2/? ) ! fois le même système de valeurs simultanées dans un prismatoïde des périodes.