CT2I

^rt2j

les quantités Trsij satisfaisant à la condition

Exprimons en effet rationnellement la fonction /au moyen

ÉTUDE DIS FONCTIONS ABÉLIENNES. l\Sg

de n -h i fonctions aux périodes (i), à savoir

On sait qu'on peut l'exprimer rationnellement au moyen de ces fonctions, si elles sont convenablement choisies, et que l'on peut supposer u,i+i fonction algébrique de Ui, u^-, • • -, Un (p. 436). Des relations

- dui - dui j dui j

dui = - — dxi H- - — - ax2 H- . . . -T- -T — d£Cfi,

on tire d'autres relations de la forme

/ dXy = Pli dU\ -H Pi2^W2 H-. . .H- Y*indUn,

( dXn = Prti dUi -h Prt2^W2 -h . . . + PfiadUn ',

et, comme les dérivées ■— peuvent s'exprimer rationnellement

au moyen de «/<, W2, ..., Un+i, les coefficients P/y seront aussi des fonctions rationnelles de Ui, u^i • . -, Un et de la seuleirrationnellez^;?^,, fonction algébrique de if|, a^i - - .,?/«• Faisons alors

'fiy ^2? ' ' '1 ^n désignant des fonctions rationnelles de t. En vertu des équations (3), les x seront des intégrales abéliennes dé première espèce dans lesquelles la fonction algébrique Un+\ sera définie par l'équation

Q(?^i, ï^2i • • •? z^/2+0 = o désignant la relation qui lie entre eux les u\ et cette équation sera irréductible si les cp sont quelconques; de plus, nos intégrales abéliennes seront linéairement indépendantes. Les périodes de ces intégrales sont de la forme

miWii -f- /722Wi2 +. • •-!- /^Ï2«W),2«j

'^l W/ii -h nUfJiii^ H-. . .-h m2n^n,2/i^

et il existe entre ces périodes des relations de la forme

CiJ^ai^^j

yi-

On a vu qu'en effectuant sur les intégrales abéliennes une substitution linéaire on obtenait des périodes normales, c'est-à-dire telles que (i bis), ou du moins telles que (i bis) multipliées par 211 y/ — i, ce qui revient au même pour l'objet que nous avons en vue. Ainsi se trouve établi le théorème de MM. Poincaré et Picard.

Corollaire. — De là résulte un théorème important : c'est que

Toute fonction de n variables sans points essentiels, possédant in systèmes de périodes, peut s^ exprimer rationnellement au moyen des fonctions ©.

En effet, on peut l'exprimer rationnellement au moyen de fonctions ajant un système de périodes normales, fonctions qui s'expriment rationnellement au moyen des fonctions 0.