X4-1) J:+2[J1.C+[X»CT

Alors, si l'on prend w = 4^.? ^ = 2R^y/ — i , a -f- p = 2K, et 2C^2K, ou 2c=2Kh- 2K'y/ — I, les formules (3) deviendront, à l'ordre près,

2, —^ [(2[JL-(-l)a:-l-2tiK+2K' v^[X(IX+lj]

Nous représenterons la première expression avec Jacobi par B{œ), la seconde par H(.t), après l'avoir multipliée par

ttk;

*•" ; nous poserons en outre

et nous supposerons la partie réelle de ^ positive (<). Nous

aurons alors, en groupant les termes deux à deux, (4) e{x)=i—'iq cos--^- -i-iq'* COS-— -. . .ziZ2q"-cos

(5) li(a7) = 2^*sin -j^ — 2^*sin — ~'^...z:z2q^ * ' sin tt— nx

H(^) s'annulant pour ^ = o est une des fonctions demandées. Soit a un zéro de %[x)\ comme 0(^) a évidemment pour période 2K, 2K4-a est un zéro de 0(^); donc, en vertu de (2),

2K + 2a = 2K ou 2a = o.

Ainsi a est égal à une demi-période; or

ne peut être nul, quel que soit q; donc 0 (K' y/ — i ) = o et la fonction 0(^) s'annulant pour œ = K'y/ — i est l'autre fonction cherchée : cela a besoin d'être confirmé par la formule ( 12). Indépendamment des fonctions 0etH, dans cette théorie, il est utile de considérer les fonctions S(x -j- K) et H(jc + K) que Jacobi a désignées par 0, (x) et H, (x). On a évidemment

(6) 0i(a7)= 14- 2^ cos-^^- +...-!- 2Gr''*cos — — +.. .,

(7) Hi(^) = 2^*C0S— j^ +2fir^C0S p- -H. . . + 25'V 2 / COS -ÛX-^-.