i = (o6 — -ma -\- a b [-(a — 6)cot3 -h
et, en négligeant des multiples des périodes,
, — ■ [oib — TTTa-T-a o \- a wïït — 0 totn ) •
ÎTI /— I \ ^^' '-^ /
Dans le cas particulier où l'on a
0(iP + a>) = 0(^), B{x-^v5):=Q{x)e ^^
il vient
(3) 5=i( c + nrj
XII. — Formation des fonctions auxiliaires et doublement périodiques admettant des zéros ou des infinis donnés.
Théorème 1. — Il existe une fonction auxiliaire d'ordre i possédant dans chaque parallélogramme des périodes w, C7, des zéros donnés.
En effet,, toute fonction auxiliaire d'ordre i est de la forme
Ao 60 -i- Al 61 -T- . . . -H A,-i 6,-i = cp (a? ) ; si l'on pose
o(ai):=o, cp(a2) = o, ..., cp(a/i) = o,
on aura i — i équations permettant de calculer Ai, Ao, . . ., Ai, en fonction de Ao, par exemple. Si l'on pose encore
cp(ao) = o,
cette formule permettra de calculer la constante désignée tout à l'heure par c, au moyen de la formule (3) du paragraphe précédent
s ou «0 -i- <3^1 H- • • • -!- CLi-\ ^ l
la fonction auxiliaire cp aura alors les i zéros a^^ . . . , a/i et contiendra encore un facteur constant arhitraire.
Théorème II. — Il existe une fonction doublement périodique d'ordre i possédant i zéros donnés a^y a^, . . . , ai^ et i infinis donnés bo, b^ ..., bi ij dans chaque parallélogramme des périodes que Von peut se donner arbitrairement, avec cette restriction toutefois que les zéros et les infinis doivent satisfaire à la relation
En effet, soit C5 une fonction auxiliaire d'ordre i possédant à l'intérieur de chaque parallélogramme des périodes cj, ny les i zéros «o, «<, . . ., ai\ ; cette fonction existe et elle est
déterminée à un facteur près. On peut former une autre fonction ^ aux mêmes périodes répondant à la même constante cet possédant, outre les zéros 6i, Z>2j ••., ^/-o ^^^ autre zéro 60, tel que
alors le rapport j a évidemment pour périodes w, rn, pour
zéros ao, «<, • * • , «/< et pour infinis ^07 ^17 • • • 5 ^/-i- [On pourrait craindre que les équations «p(<2o) = o, cp(a,)=o, ... fussent indéterminées ; mais cela n'est pas possible, parce que l'on sait que deux fonctions doublement périodiques qui ont les mêmes zéros et les mêmes infinis sont égales à un facteur constant près.]
Théorème III. — A l'aide d'une fonction auxiliaire du premier ordre f on peut former toutes les fonctions auxiliaires d'ordre i.
Soit, en effet, ^{x) une fonction du premier ordre nulle pour .r = o : la fonction
^(x — ao)^{x — ai). . . 0(^— a/i) = o(x)
s'annulera pour x z= a^, a», ..., ai^^; de plus, elle sera d'ordre i. En effet, si l'on a
on aura
o{x-+- lû)= (f{x),
ou, si l'on veut,
cç(^-f-Trr) = ^{x)e
en posant
^ «0 -4- ai + ... H- aj-i
Ce théorème nous sera bientôt utile.
DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 2^ï
Théorème IV. — A l'aide d'une fonction doublement périodique du second ordre, on peut former toutes les fonctions d'ordre i aux mêmes périodes.
En effet, d'abord au moyen d'une fonction du second ordre y(^) possédant les zéros a,, «2 et les infinis a,, àa, tels que a, -t- «2 ^ ^-t -\- ^2^ ^^ peut former une fonction du second ordre possédant les zéros 6,, 62 et les infinis p<, po? tels que 6| + 60 ^ j^< 4- ^2- En effet, soit a, + «2 = 5 : la fonction suivante, où A est constant,
f(x-hs)—f(bi-i-s) ^
n'est plus infinie pour x = a, ou x = a2, mais elle admet le zéro X = bi et l'infini a; = p^ ; mais on peut disposer de s, de telle sorte que/(62 -\- s)^f{b^ -H 5); il suffît pour cela que 6j -j- 62 -^ 25 ^ «f 4- «2 ; la fonction considérée aura donc les zéros b^, 62? l'infini p,, et par suite un second infini ^o? tel que
xMaintenant, soit F, (^) une fonction du second ordre ayant pour zéros a ,, 60 pour infinis a,, «2, tels que «< -j-^j ^«i +«0; soit F2 une fonction admettant les zéros ^2 et b^ et les infinis I2 et 6,, etc.; soit enfin ¥n{x) une fonction admettant les zéros an-\ et ba et les infinis bn^^ et a,j. Considérons le
produit
f{x)=¥,{x)Y^{x)...¥n{xy,
il sera doublement périodique, si toutes les fonctions ¥^, F2, . . ., ce que nous supposerons, ont mêmes périodes; en outre, il s'annulera évidemment quand on supposera
et deviendra infini pour ^ = ai, ..., a,^. La quantité ba
seule ne peut pas être choisie arbitrairement, mais on doit
avoir
a, -^ aj — . . . ;- «rt-i -I- 6„ — ai + aa ^ . . . + a;,.
XIII. — Inversion d'une intégrale elliptique de première espèce.
SoitU un polynôme du quatrième degré en u : considérons l'intégrale
r'' du
^=i Tu-
Calculons ses périodes w, rrr: soient o et 5 les zéros de la fonction inverse, a et p les infinis, on a [3 = 5 — a ; car on sait qu'à chaque valeur de u correspondent, à des multiples des périodes près, deux valeurs ^ et 5 — x de jc. Considérons la fonction /(^) doublement périodique, possédant les zéros o, 5, les infinis a, |B et les périodes to, nr que nous avons appris à former au paragraphe précédent. Soit enfin
F(?/) est monogène et continue, elle est aussi monodrome; en effet, à chaque valeur de u correspondent une infinité de valeurs de l'intégrale x^ à savoir
mw H- ntn -h 37 et m w -H n TU -4- ^ — x^
qui donnent k f[x) la même valeur et par suite aussi à F(?^) ; donc F(?^) n'a qu'une seule valeur pour chaque valeur de u. Pour u = oo^ x = ciL ou p et/*(^) = GO, donc F(w) = go; du reste, si u est fini, x est fini et, par suite, F(^^) est fini; F{u) ne peut être nul que pour/(^) = o, c'est-à-dire pour x^s ou o; alors u = o. Ainsi F(u) n'a qu'un zéro et un infini, à savoir o, go; ce zéro et cet infini sont simples, car
Or y/U est fini pour z/ = o (ou du moins on peut éviter le cas où U serait nul pour w = o) ; quant à f'{x) il n'est pas nul, puisque Bo('^) et par suite /(:?;) n'ont que des zéros simples ;
pour prouver que l'infini esl simple, on considérera r^-. — ■•
En résumé, F(m) a les mêmes zéros et les mêmes infinis que la variable ii\ leur rapport A est donc constant elF(u) = a en choisissant convenablement A.
Il résulte de là que la fonction inverse de /(^) est l'intégrale elliptique, et que par suite, réciproquement, l'inverse d'une intégrale elliptique est une fonction doublement périodique monodrome et monogène.
XIV. — Relations entre une fonction doublement périodique et sa dérivée.
Nous allons voir que, réciproquement, toute fonction doublement périodique du second ordre a pour inverse une intégrale elliptique, mais nous allons généraliser un peu ce théorème.
Théorème I. — Deux fonctions doublement périodiques u et V, dont les périodes sont commensurab les deux à deux et sont dirigées dans le même sens, sont des fonctions algébriques Vune de Vautre.
En effet, soient mcu et aith les périodes de «, et soient A?i'co et /i'ti^ les périodes de t^, mein^ m' et n' désignant des nombres entiers. Soit |jl le plus petit multiple de m et m\ soit vie plus petit multiple de n et n : [jlw et vtu seront des périodes des deux fonctions; le parallélogramme de côtés jjlw et vcu contient tjLV petits parallélogrammes de côtés to, w ; à chaque valeur de ç correspondent (3 valeurs de x, si (^ est d'ordre p, et a valeurs de u si u est d'ordre a; donc à une valeur de ç correspondent dans le parallélogramme (|jiw, vtïï), -S — [^ valeurs de X et de u. De même, à chaque valeur de u correspondent ' — a valeurs de (^ ; donc, comme les nombres des infinis de u et ç l'un par rapport à l'autre sont limités, u et V sont liés par
une relation du decrré —7-*-, en u et -— en ç', ^ m n mn
244 CHAPITRE YIIl.
Supposons que ç = u' soit la dérivée de u : les fonctions u et ç ont le même parallélogramme, mais u' est d'ordre plus élevé que u. Supposons u du second ordre, ?/sera en général du quatrième ordre (il serait du troisième, si u avait un infini double), parce que les infinis de u' sont ceux de u avec un degré de multiplicité plus élevé d'une unité; la relation qui lie u k u! est donc du quatrième degré en u et du second en u' .
Soit
Uo u"^ -\- Ui u' + U2 = o
cette relation, Uq, \J\, U2 étant du quatrième degré au plus. Mais u' n'est jamais infini que pour u = co; donc Uq est indépendant de u : on peut supposer Uo= i. En second lieu, la somme des valeurs de la variable x pour lesquelles u est donné est constante ; donc, si l'on appelle x^ et X2 ces valeurs,
on a
djp^ dxci
du du OU
donc
■^ —- —o ou Ui = o; U2
donc enfin la relation qui lie une fonction doublement périodique du second ordre à sa dérivée est
OU bien
— = i/A a* -t- B u-i -T- G i^^' -,- D w + E. dx
Ce fait a été établi par M. Méray.
XV. — Les fonctions auxiliaires de Jacobi. La fonction sn^, inverse de l'intégrale
a pour périodes 4K et 2K\'— i, K et R' étant donnés par les formules
Ses zéros sont o, 2K, ses infinis K'y/ — i et 2K + ¥J \J — i; elle sera donc égale au quotient de deux fonctions auxiliaires que l'on pourra former de bien des manières, ayant pour périodes 4R et 2K'y/ — I, et s'annulant l'une pour ^ = 0 et a: = 2 K, l'autre pour ;r = K^ y/— 1 et ^ = 2 K + K' \J— i .
Rappelons que, si une fonction auxiliaire du second ordre satisfait aux équations (p. 286)
ses zéros a, p satisfont à la relation (p. 288)
a+fî^2(; V- TJ5 — C
OU
et ^ fonctions
et 8 est une fonction linéaire arbitraire et homogène des deux
— — — [2[XJr+2[IC+[X([X-l)CT]
