XXII. — Périodes elliptiques
CherchoDS à former un système de fonctions elliptiques. En se donnant le module A-, on pourra calculer q ou,
ce qui revient au même, le rapport t- au moyen de la for-
mule (p. 260) (I) sl^k =
La formule (p. 260)
TT I — iq -^ iq^ — 2^^-!-...
permettra ensuite de calculer R et, par suite, R^ Quand on se donne Xr, il y a donc une infinité de valeurs possibles pour
K' R et R^, le rapport — a une infinité de valeurs; mais, quand
ce rapport est déterminé, R et R^ sont déterminés. Il résulte de là que, comme sn^ ne dépend que de A", pour former une même fonction sn^, on pourra employer une infinité de systèmes de fonctions 0 et H.
On appelle périodes elliptiques les périodes 4^ et aR'y/ — I qui sont telles que R et R' soient des solutions des équations (i) et (2); ce sont, si l'on veut, toutes les périodes que l'on peut employer pour construire un système de fonctions H, 0, telles que l'on ait
Appelons Ri et R', un système quelconque de solutions des systèmes (i), (2), le parallélogramme des périodes 4l^n 2R', \l — I, contenant seulement deux zéros desn^r, devra être
un parallélogramme élémentaire, de sorte que, si K et K' désignent les intégrales
r^ dx r^
dx
on devra avoir, m, ;?i^, n, n' désignant des entiers,
4 Kl = 4 ''i K ~ 2. m' K' y/ — i ,
2 Kl y/ — I — ^TlK-r- -2 71' K' / — I ,
mn' — nm' = zh i,
et, pour que les formules (3) aient lieu, il faut que cn^ s'annule pour ^ r=z Kl , et dn ^ pour ^ = K, + K', y — i ; donc,
en appelant a, j3, a', '^' des entiers,
K,rrr(2a + l)K-f-2pKV— I,
Kl -f- K; /^ = (^.a'^ i) K -i- ^2|B'+ i)KV-
Il faudra aussi que -^ ait sa partie réelle positive. La comparaison des formules (4) et (5) donne
4/iK-[-2/i'K'v/^^==4.2i3"K-i-(2Y"+i)2KV^,
d'où l'on tire, en appelant a, 6, c, d des entiers,
4Ki=(2a-M)./iK-i-2è.2K'v/^, 2K;= 2c4K-^(<i-f-I)2KV^.
Enfin la condition que tft doit avoir sa partie réelle positive donne
ei a-\- d doit être pair.
XXIII. — Développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques.
Reprenons les formules de la page 254, que l'on peut écrire
I — iq COS— -4- ^2 J I I 2çr3 COS-^ + ^ )
U {x)= qq' sin^ ^i - q^ cos— -h ^^ j (^i - 9* cos-^ ^- çr^j
prenons les logarithmes des deux membres des formules précédentes, et observons que l'on a, en supposant le module de r inférieur à l'unité (T. III, p. 290^
log(i — 2rcos9 + r^ ) ~ r coso h cos2o -~ — cos3^ . . .;
nous aurons
-loge(:r) = -logQ
[ira: V'
I ITZX
