XIX. — Relations entre les fonctions de Jacobi
Les quatre fonctions H, 6, H,, 0, sont du premier ordre, leurs carrés sont du second ordre* d'après (8), (10) et (9)
du § XV, les fonctions H2(^), 0^(œ), B^^{x), 0;(^) satisfont
aux équations
6(a7-h2K) = 6(ic),
par suite, l'une quelconque d'entre elles (p. 236) est une fonction linéaire et homogène de deux d'entre elle.'^. On peut donc poser
j e2(^) = AH2(:r)-f-BHf(:r),
A, B, C, D désignant des quantités indépendantes de x que l'on dé terminera en faisant :r == o,^ = Ket^= K-j-K'y — ^i; on aura alors pour ^ = o, en observant que H(o) = o,
Hf(o)' eKo)'
en faisant ^ = K, ce qui annule H, (^), on trouve
^ e^K) ^ ef(o\
~ H2(K; "" Hf(o,)'
en faisant ^ — K -f- K'y/ — i , ce qui annule 0, (^), on a de même
^ ^ e2(K4-KV^) ^ ef(KV=:"i) ^ HfÇo)
Les formules (i) deviennent alors
eH.)=|iglHH.)^|^eK.);
nous les écrirons ainsi
^^^ I Hf(o) UHx) sHo) ei(x)
[ ' ei{o) e^{x) e|(o) e^^x-)'
et nous poserons
^ ■ ei(^) e(o)
ef(o) Les formules (2) donneront alors
les fonctions \ [x, v sont doublement périodiques. Il doit exister une relation algébrique entre ces fonctions et leurs dérivées ; cherchons la relation entre \ et V, on a
Or les fonctions H'(^)e(^) — e'(^)H(^), H(^)e(^) et lli(x)%i(x) satisfont aux relations
donc l'une d'elles est fonction linéaire et homogène des deux autres (p. 236); on peut donc poser
u'(x)e(x) — &'(x)}î(x) = AU(x)e(x)-i-Biîi{x)ei{x).
Si l'on change ^ en — Xj il vient
U'(x) e{x) — e'{x) H{x) = — AH (^) 0(^) 4- B Ui{x) ei(x),
donc A rrri o, et l'on a
H'(^) e(x) — e'(x) E{x) = BUi{x) ei(x);
si l'on fait ^ = o, on a
H'(o)e(o)=BHi(o)ei(o), L. — Traité d'Analyse, î\. 17
258 CHAPITRE YIII.
d'où
^^ H'(o)0(o) . Hi(o)ei(o)^ on a donc
HV)e(a.)-e'(^)H(^)= lllU^l^^^ H,(:r)e.(r).
Si nous portons cette valeur dans (5), nous aurons ^X(^)H-(o)e(o)
ou, en vertu de (3),
dX H'(o) 01 (o) /-
dx Hi(o)e(o)
Nous ferons
^^ Hi(o) 6(0) ^'
alors nous trouverons
dl
on a donc, ou on peut même poser comme définition de sn^, cn^, dn^,
(7) l{x)= sngx, (j.(a") = cn^;r, v{cr)— dn^x.
Si, dans la seconde formule (2), on fait ^ = K, on a
Ht(o) ^ 0Ho) 6^0) ■ ef(o)
OU, en vertu de la quatrième formule (3),
Nous poserons
XX. — Expression de sn^, ctit, dna? au moyen des fonctions auxiliaires.
En résumé, si l'on se donne K et K', on pourra former les fonctions ©(.r), H(.r), Si(œ), Hi(^), puis les modules [formules (3) et (8) du paragraphe précédent]
et le multiplicaleur [formule (6) du paragraphe précédent] Alors on aura [formule (2) du paragraphe précédent]
ix.{cc) = en ^37
v(a7) = dn ^cc =
ou encore
Si nous prenons le multiplicateur ^ égal à l'unité, nous établissons par le fait une relation entre K et R', et les formules (3) deviennent
(4) sna?=-^ -, cn;r = 4/-^ --Î, dnx=^/k'—-
La relation qui lie alors K à K' sera la relation (2), où l'on fera ^ = i , à savoir
ir(o) 61(0) ^ Hi(o; 6(0/ ''
26o CHAPITRE VIII.
en remplaçant B, H, H,, ©j par leurs valeurs, cette relation devient
Les formules (i) donnent lieu aux relations
-f- 2 q -\- iq'* -\- iq"^ -,-
la formule (5) peut alors s'écrire
~ 1 — iq-\-iq'* — 2^9 -f-..
et
. 2 K v/A ' q'*—'iq'*-^'jq^ — ...
(9; ~ — T 9 Ts
XXI. — Usage des fonctions 6, ri, Oi, ru. — Calcul de la constante C.
Puisque l'on a
(0 l-'SL-h-IlL- Ce^'
^'^ e - H - Oi " Hi - ^^ '
on aura aussi
I ri{x) Snx — —- K7 — r> sTk ^(^)
/k' r^iC^p) 6^(0)' e|(o)' ra(o) 0(0)' ••••
Nous pouvons maintenant déterminer la constante C qui entre dans la formule (i); en effet, on a
Hi(o)e(o) Ta(o)e(^o)
Remplaçons dans ces formules H'(o), B,(o), ..., 8(0) par leurs développements en produits, en observant que
U(cr) H (o) = lim — —- pour x = o,
T, (o)=Iim poiir.r = o;
nous aurons
JL(,^2)2(,__^.)2.
..(.-4-^)Hi + 5'')'---
on tire de ces deux formules (p. 204)
/^ ( f ~ q'-Mi — q'^) . . . (i -^ q)(T -^ q^) . . .
divisant ces formules membre à membre, en ayant égard à (i), on a
/ K e, ço) ^ .
V K' ~ "Oi(o} ~ G'
ainsi la constante G est égale au rapport 4 /7T7 des racines carrées des intégrales complètes.
Les formules (i) peuvent alors s'écrire
e, H If, y/K
^1 "" ^ "~ i^ii ~ y/K'
