TZX

-^ — - Sin-rr- - 7^ K

-^ — - Sin— V- -i-72 K

~ — T Sin— r— K

tn^?7 tn37

71 / 7r 37 -TT 37 \

-rr col— j- + tang— iK\ 2K °2K/

ITZ / q"^ . 27137 7^ . 4^-^

TT- — ~ — ; Sin—- 1 2 — - sin— p '-

XXIV. — Relations nouvelles entre les modules et les périodes. Reprenons les formules (p. 25g)

H'(o) 8,(0) Hi(o) 6(0)

Si, dans celle dernière formule, on remplace 0(o), ©i(o), Hi (o) par leurs valeurs lirées des formules (i) du paragraphe

précédenl, si l'on remplace H'(o) par / — ^^ — - lire des

mêmes formules, on Irouve

En supprimant au numérateur et an dénominateur le facteur

qh^-^ q'^Yi^-^ q')' ' "X{^- qYi^- q'Y - ",

il reste

^^■~^i'-^^fi^-^Q')'{'-^^')''-'Xi'-r'Y{^-9')Ki-9'y

formule qui peut s'écrire, en vertu des formules (i) du paragraphe précédent.

OU encore

(0 i/ —- =i-\-iq -\-iq'*-^iq'^ -\-

Cette formule remarquable conduit à une proposition curieuse d'Arithmétique. Dans la formule (3) du paragraphe précédenl, qui donne -j — -j faisons ^ = o ; après avoir divisé par x^ nous aurons

en X

Si l'on traite de même celle qui donne '--, on a

en a?

en combinant cette dernière avec (4), on trouve

OU bien, en développant en série les termes du second membre,

A, B, G, ... désignant des coefficients entiers et essentielleijient positifs. Si l'on développait le premier membre, il devrait être identique avec le second; donc toutes les puissances entières de q devraient se trouver dans le premier membre. Or ces diverses puissances sont des sommes de quatre carrés; donc :

Tout nombre entier est la somme de quatre carrés [dont quelques-uns pourront être nuls).

Si l'on se rappelle la formule (p. 262)

iq'* -\- iq'* -\- iq * -h