X -\~ a Aam ^ o

On en conclut immédiatement, d'après les formules données page 384 pour les racines des équations

qu'on a

/ ^' := « -4- 4 w K + 2 m' rK',

( jr =: « -I- (4 /?i -f- 2) K -h 2 m' i K';

de même pour

cosam^ = cosama on obtiendrait

X =z. ±i a -\- u^mY>. -\- [^ m' ilsJ, ^ = li: « 4- (4 'w -i- 2)K -{- (4 m' -I- 2) /K', ou plus simplement

^ = ±: rt + 2 m ( K -{- /K' ) -h 4 m' / Iv', et pour

Aamx = Aam«,

%• --- .±: a -f- 2mK + 4»^'/îv.^

Dans ces formules m et m' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.

Les formules pour l'addition de deux arguments donneraient lieu à beaucoup d'autres remarques; je me bornerai ici aux résultats relatifs à la duplication et aux valeurs que prennent les trois fonctions lorsqu'on suppose l'argument égal à une demi-période. Les premières découlent des formules fondamentales, qui donnent immédiatement

asinamacosama Aama

sm am 2 y. = ; — : >

i^ — /r'sin^ama

I — asin^ama-r- /r'sin^ama

cos am 2 a

Aam2a

1 — /rsin^ama I — 2 /(" sin'am a -h /r' sin* am v.

I — /,-sin*am«

et on en déduit les valeurs suivantes, qu'a données Gudermî.nn :

smam — = . smam — — — =•>

s/T+7/ l 2 ^jf

Aam

cos a m — = — .. < cosam — = ,. -^1

K. /-T-T I lis. I ;'

Aam —=:\/fi'; Aam — =ziJi~/,-;

smam — iH zK' ]= , smam Kiiz — = -=?

2 ; s/i—h-' i V 2 / yji>

icosam {—-~iK']=~ii/ —;^pi tcosam ( Kdz — ) — -f- 'i/ -^— ;

dz Hv') = zp i \/k' ; [ Aam (k dz — ") == y/i — /r

smam

cosam(^ j = (i^Oy^J

Aam

DES FONCTIONS ELLÎPTIQUES. 439

m. — De la mullipUcalioii des arguments.

Ce point important de îa théorie des fonctions elliptiques est si intimement lié à la théorie de la transformation, dont nous ne nous occuperons pas ici, que nous devons nous borner à l'indication d'un petit nombre de résultais.

En premier lieu, soit n un nombre pair, et posons

on aura

r.inamj:-)- A'sin'amjT-r- . .-t-Csin'"'""'^ am^

sinam(Hx) :i-:ncosamx AaniJ.' '

( — I j^ cos am ( nx ) =

[--i)'-\ am ( nx )