II. — Formules vonr l'addition de deux armiments
Nous appliquerons les théorèmes précédents au cas de trois arguments a», a, et as, en supposant le dernier égal à zéro, enous prendrons
dz
? (^) = (2* + az- -^ ^) -^ ^^ -J^.'
On remarquera alors que, dans le cas de z ---- sinamx, l'é quation fondamentale a cette forme
(;*-!- az-'^rby — c^z-[ -j- j =s=(:î= — sin^ama,)(s=— sin'ania,)
X {z- — sin^ am (a, -!- y.^),
de sorte qu'on doit déjà poser b — o. Si l'on supprime dans les deux membres le facteur 2-, el qu'on fasse ensuite z — - o on obtiendra
sin am (a, -- y..) = -r
sin amai smama.
Cela posé, les équations o(ai) = o, o{y.-,) = o deviennent
sin^ am y., 4- a sin am a, n- c cos am ai a am a, = o, sin^ am y., -f- «sin am aj -f- c cos am a, A am a, = o.
c sin-anic^, — sin-amc/;,
j)iii ama, sin am y.., sinama, cosamaj ^ ani a.^ — sin am k., cos aiiiK, dama,
valeur qui se réduit à sin am a, pour 0^2= o, de sorte qu'on doit prendre dans la formule le signe supérieur. 11 vient ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction par
sin am a, cos am a, ^ am xo -i- sin am z^ cos am a, A am a, , et supprimant Iiaul et bas le facteur sin'ama, — sin'ama,,
, . sinani 5c, cosaniK, A am K.-t-sin am a.cosam a, Aam K,
Sin a m (k. -t- r. ) r^ ■ ^^ : — : — ' ^•
s — A- SUT am a, sin-am a..
Dans les autres cas où 2 = cosam.r et ^ = Aam;c, l'équaliou
, dz
z^ -i- az- 4- -'- cz -j— = o dx
admet la racine 2 = 1 qui répond au troisième argument supposé nul. On doit donc faire
z' ->r- az- -{- b = {z' — 1 ) (32+ m),
ce qui conduit, pour z — cosam^, aux équations
cosama, Aama,
cos^ am a, + m + c : = o,
SHi am a,
cosamaj Aama,
cos- am 7. . -h m -;- c ^ = c,
smaniaj
et à la valeur
cosam(a, -T- a.)
cosama, cosama.
de même pour .-r=: Aam:r, on a les relations toutes semblables
cos ama, Aama,
A*ama,-i- m -■- c : = o,
sm am a,
cosama, Aama,
A' am a. -H m - 1- c ■. =^ o,
smama,
Aamfa, -I- 7.;) =■
Aama, Aama, Uu calcul entièrement analogue à celui qui concerne le sinus
436 KOTE Srn LA THÉORIE
donne les formules suivantes :
, . cosamy, cosamo^, — sin am «, sinami^. A nm ;/:, A amo^,
cosamfK,-r-aJ — ',. . . — :—, = ! :,
I — A'sin'am a, sin- am K,
Aama, Aama, — A-sinam a, sin am(/„cosain a.cosam «.
A am [ry -f- a, ; = — :^ ■ r-z — ■ '-•
I — A siii- am a, sin- ara a.
Les trois formules que nous venons de déduire du Ihéorènne d'Abel sont nommées à juste titre fondamentales, car elles suffisent pour définir complètement les fondions sinam^c, cosam^r, Aam^. On peut voir dans les premiers Mémoires d'Abel, et postérieurement dans les travaux de Gudermann, l'un des meilleurs auteurs qui aient écrit sur la théorie des fonctions elliptiques, comment elles donnent la double périodicité, puis les expressions de sinam(/i^), cosam(/z^), Aam(«:r), où n est un nombre entier quelconque, d'où l'on
déduit, en remplaçant x par - i et passant à la limite pour n
infini, les expressions analytiques sous forme de quotients des séries et H. Nous y joindrons les suivantes, qui s'en déduisent immédiatement, savoir :
. sin ama.cosam a, Aamo', — sin ama.cosamK, Aam k.
sin am (a, — a.) = ■ ,. . . ' ^^ ■' »
I — A'sin-ara k, siii'am v.^
. cosama, cosama.-f-sinama, sinama, Aam «, Aamç!. cosam'^a, — aj; = = ' . . ■ .
Aam(a, — a.
I — A-siii-am a,sin-amaj Aamy., Aam-/.-(-A'sinama,sinama2C0sam aiCOsamc,
I — A^sin'am y.,sinam«j
Par voie d'addition et de soustraction on en conclut
asinamx, cosama^Aama, 1 — /('sin^ania, sin^amaj
acosama, cosama,
1 — k' sm- am a, sni- am a.
aAama, Aam y.-:
1 — /i-sin'aniKi sin'amaj
2 sinama. cosama, Aamx.
sinam (a, -;- a.] -h sinam (z. — a)
cosam (a, -r a.) -h cosam (a, — a.) = A am (a, -h a,) -t- A am (a, — aj) =
î sinam (a.-i-aî) — sinam {x, — x-,):^ \ cos am (a, — a,) — cos am (y., -f- a.) =
I — /î-sin^ama, sin^amaj 2 sinam a, sinama^Aama, Aama^
A am (a, — y.,) — Aani (a, + y.;)
I — /i^ sin^am a, sin^amaj 2/(-'sinama,sinama2C0samaiC0samz
\ \ ■ --j > ' ■-/ j — /,^sin-ama, sin-am xj
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 43 y
Les trois dernières équations, en faisant
conduisent à déterminer toutes les valeurs de x, qui donnent
sin am x =- sin ani a,
cosam^ — cosam«,
Aani^ ^ Aam«.
Ainsi, dans le premier cas, on reconnaît que toutes les solutions sont données par celles des équations
X — Cl
sinam =: o ou co ,
X H- a cos am — — = 0,
