I -r- «: A^ am x-^. . .-r- lu A"" am x

Tous les coefficients dans ces diverses formules sont des fonctions rationnelles et entières de //% et Jacobi a donné pour leur détermination dans le cas où n est impair, le théorème suivant.

Soit sin am:c ^ -— , sin ïxn\{nx) -- — = et U :i^ — , P et O sic slli V

44<> NOTE SLR I.A TIlÉOHIE

éiani des i}ol:jnômes entiers en ii; si l'on fait

ces deux polynômes satisferont à l'équation linéaire aux différences partielles que voici :

u- lu- — 1 1 irz -+-(«' — i)(y.u — lu^) -i— ' du

Sur les fonctions de secoiide et de troisième espèce. On y est amené par la considération de l'intégrale F(sinamx, cosam:r, Aam;r)<:/.r,

où F désigne une fonction rationnelle quelconque et oui va maintenant nous occuper.

Soit, comme précédemment,

u =: sin am x, f = cosam5;, a-^iz Aamx.

On reconnaîtra d'abord qu'elle peut être réduite à la forme

i ( A — B 4/ -:- C(v 4- D vw ) dx,

où A, B, C, D sont des fonctions rationnelles de la quaniiie <i. H en résulte que la première partie

Kdx

demande seule un examen attentif, car à l'égard des deux suivantes l'intégration s'effectuera par les règles relatives aux radicaux carrés du second degré, en prenant u pour variable indépendante, et la dernière se trouvera même ainsi ramenée

aux fonctions rationnelles. C'est donc seulement dans l'expression / Xdx que l'on peut s'attendre à voir résulter de l'intégration des fonctions nouvelles, cl que les considérations suivantes vont mettre effectivement en évidence. Soit

rf el -if désignant des polynômes entiers; en multipliant par ^{ — u) les deux termes de la fraction et faisant

on décomposera l'intégrale proposée dans les deux suivantes,

J 'i'(«) ' J ^iu^-) '

dont la seconde se ramène encore aux radicaux du second degré, puisqu'en faisant u^ =■ t elle devient

■^ J "^''in' s/{i-t){i-lrt)' Il y a donc seulement lieu de s'occuper de la première, qu'on

fera dépendre, en décomposant en fractions simples ~ — -,

Y ( "^ ) de ternies tels que

1 lÛ"dx, 1 ; ,

OU bien

lû" du C du

v/( I — u')[\ — k'iC- ) J {i — ociû)P \J{i — u'){i — X-' II- )

et ces termes sont eux-mêmes réductibles, comme on va voir, aux cas les plus simples de n= i, p=: i.

Lacroix, Cale, dijf., II. 20

Parlons en premier lieu de la relation du"' .

-^ = mu'"-^ v/(i — «^)(i - k'n'),

qui différenliée donnera

En intégrant par rapport à x les deux membres de cette équation, on trouvera cette formule de réduction

du"" , , r , , r ,

-—- z= m{m — I ) / H'"-- dx — nï^ ( i -- A^ ) | W" dx

-^ m [m-T- i)Ii^ I u'"-^-dx,

qui montre comment de proche en proche on ramènera l'intégrale proposée ou m = 2 n, aux seuls cas de w = o, 7^ = i .

Le premier donne un terme proportionnel à la variable, et c'est le second qui conduit à un nouvel élément analytique, dans la théorie des fonctions elliptiques.

En introduisant comme facteur constant le carré du module, nous poserons

>)= Ç /<'sin

"^avLVxdx,

ce sera ce que l'on nomme et ce que nous appellerons dorénavant \^ fonction de seconde espèce.

Partons en second lieu de la relation

, .Jr- r dx

DES FOXCTIOXS ELLIPTIQUES. 443

qu'on trouvera identique par la différentiation. Il est clair que de proche en proche, elle fait dépendre le cas le plus général des trois suivants où l'on suppose /? = — j, p = o, p=i. Le premier nous ramène à la fonction de seconde espèce, le second donne un terme proportionnel à la variable: c'est donc seulement le dernier qui met encore en évidence une fonction nouvelle, que nous étudierons sous la forme

au lieu de

En faisant

\ w clx

dx

a -- /r^sin^ama,

t i da. , .

A = — j- h- SHi am a cos am a A am a, 2 da

nous poserons

'" /( = sin anirt cosam« Aanirt sin'am^.rf^

n (.r, rt}= /

I — h^ sin^am a sin' am x

et cette expression sera désormais pour nous la fonction de troisième espèce.

i. — Expression par (d{x) des fonctions de seconde et de troisième espèce.

Nous avons précédemment établi la relation suivante

, . , 1 1 T» f/sin am^-

sm am x { sin- am o^ + A ) + B

^ pH(^ — ai)H(x — aj) H(^- — aj)

OÙ les coefficients A et B s'expriment par a, et aj en posant

, . , 1 , T^ f/sinama, sniama,(sm'ama, h- A)-f- B -, =: o,

rf a,

, . , 1 s T. <^sin amaj

sin am a2(sm'am a^-j- A)H-B = o.

444 NOTE SUR LA TnÉORlE

Soit

et par suite

-3=0; d'après la condition

on trouveia

B ^= o, A = — sin'am^/,

et par conséquent

smam:i:(sni'am.z- — sm'am«j =^t. — ^ — —, — ; — ^ —

Déterminant C en faisant x = o, il viendra enfin

0^(o)H(^H-fl)H(x — a)

sin' ani x — sin^ am a

Cette relation importante prend, si l'on change a en a 4- iK', celte nouvelle forme

î — /( * sin am a sm* am x = — ^ — 7-^^ ' ,

h laquelle on parviendrait encore d'une autre manière en employant l'identité

i Hix-i- a)l{{x — a) . , . . ,

r — -, — ; r = sm am ( X -j- a) sm am { jc — a)

sin'am x — sin-am a

1 — A"' sin'am a sin' am x

Elle donne, en prenant les logarithmes de deux membres,

log(i — /r'sin'amflsin'amjî)=:log0-(o)-l-log0(^-i-<7)

+ log &{x — a) — 2 log [x] — 9.log 0(«),

cl de là on tire immédiatement, en différentiant par rapport

a et en inlégranl ensuite par rapport à x,

/i ' sin am a cos am a A am « sin' am :rc?^

— ;— : = n ( jr, a ,

I — /f'sin^amasin'am^

©' ( rt ) i , eix — a)

c'est l'expression anal^'lique découverte par Jacobi de la ['onction de troisième espèce. En divisant par a et supposant ensuite « = o, on en déduit

' /(^sin'am^f/x=:: Z(.z-)

®'[x) e{x) où l'on a posé

I — iq -\-2.q* — 2^''H-2y'8 — . . .

c'est l'expression donnée également par Jacobi de la fonction de seconde espèce et qui va nous conduire aisément à ses propriétés fondamentales.