II. — De la fonction Z{x
La première de ces propriétés est de n'avoir qu'une seule et unique détermination pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable. C'est aussi ce qui résulte directement de la considération de l'intégrale / h- s'm^am zdz. En effet, pour l'une
Jo
quelconque des racines de l'équation
savoir
le résidu correspondant de Â^sin^amz, c'est-à-dire le coeffi-
j\/\6 XOTE SLR L^ THÉOÏtIE
cienl de - dans
/i^sin^am [2mK-i-(2m'-T- i) /K'+ s
biii-ain
s'évanouit, carsin^ame ne contient que des puissances paires de c dans son développement. L'intégration, quel que soit le chemin décrit par la variable z, ne donnera donc qu'une seule et li nique détermination. Nous pouvons ainsi poser sans aucune ambiguïté, en adoptant les dénominations de M. Weierstrass,
: / /<^sin
^amxdx,
/(^sin-am xdx.
Ces quantités se nomment les fonctions complètes de seconde espèce et sont liées à R et R' fonctions complètes de première espèce par la relation que nous avons déjà mentionnée :
KJ'— R'J=-
et que nous allons maintenant démontrer, A cet effet, faisons successivement
dans l'équation fondamentale
La première substitution donnera loul d'abord
car on a
DE3 fOx\CTIONS ELLIPTIQUES. 44?
Pour la seconde, nous partirons de la relation donnée p. 384:
et d'où l'on lire :
loge, (:r-i-iK') = logH,(^)— ~(2^4-iK'),
En différenliant par rapport à a:, on en déduit
0', (x^-iK) H', («-) /77 0,(x-^iK') ~ H, (x) 2K*
Maintenant si l'on fait x:=o, la dérivée de la fonction paire H,(^) s'évanouissant, il viendra
e\{iK') Q'{K^-iK') __ __Jji 0.(/K')~ 0(K^iK') ~ iK'
On en conclut
et par conséquent
ce qui donne la relation annoncée en remplaçant <; par^p.
Ces quantités J et J', lorsqu'on suppose le module k réel et moindre que l'unité, s'expriment par les intégrales reclilignes :
^^Jo sj{i—x^]{i~k'x^)'
y __ Ç li^x^dx
sJix'— i)(i —k'x') et l'on a, comme pour K et K', ces deux séries :
J'=JlogiH-,-(J-JÏ,)-3^(J-J^)^(J-J3).
en faisant :
^ I ,, 3 fiYj 5 fi.Sy j 7 /i.3.5\' ,
j = L /,'-i4 f - V /.' + . . . - î^i^ /'^.^...^«^sy ,„.,
