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figure dans l'expression de * ( 5 ), par ce rapport de fonctions H, cl posant
il viendra
Or on reconnaît au numérateur et au dénominateur de <i'{z) les expressions que nous avons déjà employées en démontrant le théorème d'Abel sur l'addition des arguments. Si le nombre/i est impair par exemple, l'expression
H(z-<:,)H(r— ?,)••• H(5 + iJ;)
est celle qui a été considérée page 43o, et qui s'exprime ainsi
y(3) = F(a-)-+-^.rF.(^-),
F ( :r ) et F, ( X ) désignant des polynômes de degré — — et
et.r pouvant être pris égal à sinam^, cosam:;, ou Aamii. Dans le cas de n pair, elle coïncide avec la fonction désignée page 43 r , parcpi(a:), et l'on a alors, en désignant par F(;r)et f(.r) deux
polynômes entiers enx respectivement des degrés - et ?
Miz-Q}l{z—-ç,)...li{z-+-rc) @"+'{z)
T-/ • , V c^sinamz „, . , = smam2i'(sm*ams)H -j^ f(sm'amc).
On voit donc que<i>(2) est donné par le quotient de deux expressions de cette nature, et c'est précisément dans la réduction de la fonction doublement périodique à sin amz et à sa dérivée que consiste la proposition que nous avons en vue d'établir.
La démonstration que nous venons de donner, reposant en entier sur l'expression générale d'une fonction doublement
488 XOTK SLIl LA TiiÉOlilE:
périodique F(^), que nous avons précédemment obtenue.
savoir :
nous indiquerons encore un moyen d'y parvenir innnédiatement, en parlant de l'équation
a l {[p-hat)dt-\-h i i' {p-r-a — bt)(lt
Jo «, f)
f {[p-^b-\-al)dt — b i [{p-i-bi}dl = 7.in^.
haut a= iK
Soit comme plus haut a=^iK, b= 2.iK', et prenons
Par la déiinition seule de la fonciion II (^), on a
Wjz-^iK) R'iz} H(2 -^ 2K}~ H (2)'
W[z — 'iiK') H'Jz ) ?V HU — 2«K')~ H(2)"^K'
et il en résulte
{{z-i-^iK') = i{z)-h'-^r{z), de sorte que l'équation précédente se réduit à
r F(/>+2Ko dt=—i.
Or les divers résidus qui entrent dans A, se rapportent d'une part à z = !:, , Çj,. . . ç,^, et de l'autre à z = x; les premiers, s'ils correspondent, comme nous l'avons supposé, à des racines simples, donnent pour somme
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et le résidu relatif à z:=x, racine simple de H (^ — z)=o, sera évidemment — V[^)- L'expression de A qui suit de là donne immédiatement la relation
J'ajouterai encore une remarque sur cette formule que j'écrirai, pour abréger, comme il suit :
^^^ iï(x — C)
En employant le théorème relatif à l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce (*), on trouvera aisément la relation
H'f.r — -c) \ï'(x) ii'(n
-r- \- = -rr7 — r rr^ - — colang aniJf A am.r
i\[x — ç) ii{x) tl;i:) °
sin am.r
sinam î; si 11 a m [x — 'Ç)
d'où résulte en substituant dans l'expression de F [x], et ayant égard à la condition
celte nouvelle formule
H'(?) V Rsinamx
^ ' ^ HO -^smamCsni
) -^i^ sin am î; sin am (x — 'C)'
(*) C'est la quantité — — ^ qui entre dans Z(x), mais on peut !ui substit
il'W . „ ., , , . . . i H(x)
Uicr -„---» a laide de la relation sin amx ^ -^ --J— f , qui donne, en nreuu:! H ,x) ^i^ {x)
les dérivées logaiitlimiques des deux membres, H'U) e'{T)
., ^ „, ^ — cotanf; am X AanaJ:.
Lacroix, Cale, diff., II
OU bien
^ , , isr< K sin am^
^ .^i^ siii arn (;sin am (x — ci)
C'est donc encore la réduction de la fonction à double période à sinamx et à sa dérivée; mais la méthode plus rapide qui nous y conduit ne donne pas, comme la précédente, la relation importante, et que nous avons dû tenir à ne pas omettre, savoir:
rç — l'C = 9. [y.K -{- ^ iK' ).
Cette nouvelle formule résulte d'ailleurs immédiatement de la seule condition
comme nous allons encore le faire voir.
Considérez en effet la fonction
sin am :: sin am [x — z )
efont les périodes seront 2 K et 2? K'. La somme de ses résidus comprendra d'une part ceux qui se rapportent aux racines Ç de l'équation
c'est-à-dire
^•^ sin am !;sin am(^ — Z)
et puis les résidus relatifs aux deux équations sin aniî = o,
sin am [x — z) = o.
Or dans l'intervalle des périodes 2K et 2/K', on n'aura d'autres racines que z =: o, z = x, auxquelles correspondront les ré-
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Ffo) F(x)
sidus -: — ^ — —•> r— — ; on a par conséquent
smanior sinam^
R F(o) Ff^)
sinamÇsinam (^ — <;) sinatu^- siiiaui^-
^ Rsinam^
^' ' '^ slnnm'Csinamix- — c,)
D'une manière toute semblable on trouvera relativement à a une fonction ^ {^v), satisfaisant aux conditions
l'expression très-simple
sui aiii i Jc — c \
où figurent seulement les racines 'ç qui sont renfermées dans l'intervalle 2K et niK', et exprimées par la formule
t et u étant moindres que l'unité.
Nous nous arrêterons à ce point dans cette Note, pensant ainsi avoir à peu près complètement esquissé l'ensemble des notions élém.entaires de la théorie des fonctions elliptiques qui précède l'étude de la transformation.
