V. — Proposition de M. Lioiwille

Nous fonderons la démonstration sur la formule précédente, en y supposant

*(z) étant une fonction doublement périodique uniforme dont les périodes seront, comme plus haut, 2K et 2/K'. Alors les

racines i comprendront les solutions des équations

Nous désignerons les premières par ç et les secondes par ^\ en admettant toujours qu'elles soient représentées par la formule

p-hiKt -+- liK'u,

t el u restant compris entre zéro et l'unité. A l'égard des résidus de S on sait qu'ils sont égaux a H- i ou a — i suivant qu'ils se rapportent aux quantités ^ ou ç', et comme leur somme est nulle, on est amené à la conséquence remarquable que ces quantités <; et ç' sont précisément en même nombre, Cela posé, et en désignant ce nombre par ji, on aura

*'(-)C : ir(5-i;.) , li'{z--ç.) , , ll'iz-c„)

d'où l'on lire, en désignant par A une constante arbitraire,

,„,., . x. H(z-?,)H(;-g.)...H(z-?.) *'''=•*" U(.-ï,)H(.-î;)...li(.-C)'

expression qui doit avoir les quantités 2K et liK' pour périodes.

Or en faisant usage des relations

et représentant la somme des racines 'ç, par 2?, la somme des racines Ç' par 1^', on trouvera

<I'(2 + 2iK') = >l)(2)e

de sorte qu'il faut poser

et ces conditions donnent, en désignant par a et ;3 des nombres entiers arbitraires,

et en second lieu

On observera combien est digne de remarque celte relation dont la découverte appartient à M. Liouvillc, entre les racines des équations

quant aux nombres entiers a et [i qui y figurent, j'ajouterai seulement qu'ils se rattachent immédiatement à la fonction <i> (2) elle-même par l'équation

Voici maintenant les conséquences qui en résultent. Ayant

H(z-i-2!:) = H(2-M';'-f-2aK-f-2p/K'), on en tire

ce qu'on peut écrire ainsi:

Remplaçant donc le facteur exponentiel e =e '^ qui