II I
S\x=z x\x — X -\ — \x -] „-7; — : -{- e\Q,.-\- const.
2 i2jr ioox^
On ne saurait déterminer la constante en faisant x=:\, parce que la suite des coefficients numériques finit par être
(') Voy. le Traité in- '|0, t. III, p. 411, 481.
divergente : on a recours à l'expression de tt du n° 428. En passant aux logarithmes, et s'arrêtant au nombre pair tix dans le numérateur, on obtient
, I ) 2l2H-2l4-i-?-16+2l8-f-2llO...-|-2l(2a:~2)H-l2jr
~(— h — 2l3 2l5— 2I7— 2I9... 2l(2JC — 3) — 2l(2;c— i);
et en prenant les limites dans la supposition de x infini, on trouve, par le moyen de l'expression précédente de Sl^,
11+12+13 + 14. .-r-lx =const.-\-( X -] — \\x — x, Il +12 + 13 + 14- .. + l2^= const. + i-xx- — \\ix — IX,
l2 + 14 + 16...+l2:f = Sl^+Jl-l2 = CO/î5^+ f X -^ ) 1^
Retranchant la troisième série de la seconde, il vient
Il -:-13 + 15 + l7... + l(2x — i)=xl^+ (orH — ) I2 — x,
d'où l'on conclut
2l2+2l4 + 2l6... + 2l(2^ 1] -\-\lX
— 2I1 — 2I3 — 2I5. . . — i{['xx — 3) — 21(2^ — l) ^^ 2 const. +2 I^H — I la:+2xl2- — ix — l2^
— 2:cl^ —i{x-\ jl2 + 2^;
et comme le premier membre de cette équation est égal à 177 — I2, on obtient, après la réduction du second,
d'où
const. = - (l;T+l2) = -l27r=z: ly/^,
résultat bien remarquable, et d'après lequel on a
Sl^=: -Xl-r -^ X\x — X-\ \x-. — 777^ r -h CtC,
3 2 1 2 :r obo x^
On rendra cette équation propre à un système quelconque de logarithmes, en mulilplianl par le module les termes dans lesquels il n'entre point de logarithmes (*).
Pour en donner une application, je rapporterai le calcul qu'Euler a fait de la somme des logarithmes des 1000 premiers nombres des tables, c'est-à-dire de la valeur de
Il -^ 1 2 -f- 1 3 .... -I- 1 1 000.
La caractéristique 1 désignant des logarithmes ordinaires, le module sera, pour abréger, représenté par M ; et si l'on fait X = 1000, on trouvera
x\x =^ 3ooo, 0000000000000
H — l.r =r 1 ,5oooooooooooo
— ^Ix — — 434? 294481 9^325 18
36ox'
résultat 2567 , 604644222 1 828
{*) Lorsqu'on passe des logarithmes aux nombres, cette équation donne
en représentant, pour abréger, par s la série
I2X iOo^ et comme
-, '' , ^M-etc. (27), I 2 1.2.3
mais, suivant la notation du n° 41i,
Il + I2 4- 13. . .-h II 000 = Il .2.3. . 1000 = l[iooo]"""':
on aura donc
On apprend par là que le nombre [looo]"""', dont le calcul est presque impraticable, doit avoir 2568 chiffres, et que les sept premiers chiffres sur la gauche sont 4023872, en serte qu'il est compris entre les nombres qui résultent de 4023872 et de 4023873, suivis chacun de 256r zéros. Cette connaissance suffit dans beaucoup de recherches où l'on ne demande que les rapports des produits de grands nombres ; et dans ce cas, la valeur approchée de ces rapports devient précieuse par l'impossibilité où l'on est d'effectuer les calculs nécessaires pour arriver à la valeur exacte. La longueur de ces calculs présente alors un obstacle aussi insurmontable que la difficulté d'exprimer rigoureusement une fonction transcendante. Laplace a beaucoup étendu cette recherche, dont les applications sont Irès-fréquentes dans le Calcul des probabilités.
436. Les intégrales définies, donnant, comme on vient de le voir, des sommes de séries, ont été employées avec succès par MM. Laplace, Parceval, Fourier, Poisson et Cauchy, pour exprimer les intégrales des équations différentielles partielles, telles que celle du n° 352, qui ne peut pas s'intégrer en termes finis.
Laplace a reconnu que la série
z = (f[x]'j-0"{x)-~-]-f[sc) f- etc..
si Ton développe les puissances de z suivant celles de r, on trouvera
j I I iSg
résultat qui s'accorde avec la formule de la page 129 de la Théorie analytique des probabilités, par Laplace.
obtenue dans le n° 353, n'était que le développement de l'intégrale
prise par rapport à t, entre les limites t = — infini et / — -|- infini, la fonction (p étant arbitraire. C'est ce dont il est facile de s'assurer comme il suit.
En développant <f{x -{-itsjy)^ par le théorème de Taylor, on a premièrement
H -^-Tr-7 o'^'ix) /e~'°'.i6/*d^-hetc.
Secondement, les intégrales qui restent dans le développement, s'évanouissent pour tous les exposants impairs, et dans le cas contraire, sont égales à
LMllplZzA^Û (430),
à cause qu'elles sont prises entre les limites — infini et + infini. En substituant ces valeurs, et renfermant dans la fonction arbitraire (f[x) le facteur constant s/t^, on trouve précisément la série proposée : l'équation
d^s d3 dx' dj
a donc pour intégrale
z = fe~^'' dtJ^x-+''2t \/J').
Celte intégrale se vérifie aisément. On obtient par la différentiation sous le signe (281),
ll=:fe-''àt^"[x-^itsJr),
= ^— e-'\'{x -h-its/f) -\-fe-''dt<i" {x-h it \/r),
en intégrant par parties, relativement au facteur e~''/d t ; et si l'on suppose la fonction v/ {x-^ itsjf) telle que son produit
par e"~^' demeure nul lorsque t =: infini, -p". prendra la même valeur que -r—^-
437. Lorsqu'on a intégré l'équation différentielle partielle d'un problème, il reste encore à déterminer les fonctions arbitraires introduites par cette opération, ce qui présente souvent de grandes difficultés. Fourier les a d'abord évitées, dans ses recherches sur la chaleur, en employant, au lieu des intégrales avec des fonctions arbitraires , des développements comme ceux que j'ai indiqués dans le n" 352, qui sont formés d'un nombre indéfini de termes contenant des coefficients et des exposants arbitraires (*). La détermination de ces quantités, d'après des conditions données, l'a conduit à des transformations qui paraissent acquérir beaucoup d'importance pour la solution des questions physico-mathématiques, et dont, par cette raison, je vais donner une idée.
(*) L'équation dont Fourier s'occupe en premier lieu, revient à
-— , H- -r— ; = o , ou r-\-t — 0,
àx- ày-
ct par le n° 3Sl , on trouve pour son intégrale complète
[Théorie de la Chaleur, p. 162 et 207.)
gu. DES DIFFEREXCES
Je prendrai pour exemple l'équation
d'z (\z dx^ dy
déjà traitée (352 et 436). En posant z = Ae'"^sin nx, on la réduit aisément à — /i^ = m, ce qui donne l'expression indéfinie
z = Ae~"'-^sin jix -h A,e~"'^sin 7i,x -^ etc. (*).
Cela posé, si la valeur de z devait en outre, lorsque x = o, se réduire à une fonction donnée f (^), cette condition exigerait une détermination des coefficients n et A, telle que
([x] = A sin nx -r- A, sin ?i,x -r- A^sin n^x -— etc.,
ce qui revient à transformer la fonction f(:c) dans une série ordonnée suivant les sinus des multiples de l'arc x.
On trouvera sans peine que l'équation différentielle proposée admet encore le développement indéfini
z = A.e~"'^cosnx -h A.e"""'^ cos n^x H- etc.
et la condition à remplir serait, dans ce cas,
f[x) =r A COS nx -h A, cos iiix — A^cos Wj.^? -f- etc.,
c'est-à-dire la transformation de f (^) en série ordonnée suivant les cosinus des multiples de l'arc x.
(*) Ce développement est implicitement compris dans celui que j'ai donné n° 5o2. Pour l'en faire sortir, il suffit de changer à l'endroit cité n en — n', ou
\n endrny — i, puis A en ± — , ce qui donne pour « les deux expressions
— n'^-f-rxy/ — I —n'y — nT\j — i
dont la somme
/ nx \J — I — nx V — I \ -"■y\e -e ) -"■-^'
\e -i ^ -^ke slnnx (107).
Il en est de même pour tous les autres termes.
ET DES SÉRIES. gS
On connaissait déjà plusieurs développements de cette espèce : Euler avait remarqué que
