Si l'on fait a = o, dans /e^" "^ d^ cos rx et dans sa

Lacroix, Cale, dijf'., II. a

valeur, en observant que

e^ ia

el que la limite de e^^'* -xa (99) est alors l'infini, on obtient

J^X COS /'X= o,

entre les limites x=: o et :r = infini, résultat qu'il aurait été difficile de prévoir. En effet, on a, en général,

JAx cos rx = - sin rx h- const. (217) ;

à la première limite, où x^=o, la fonction sin/':c = o; mais que devient-elle lorsqu'on suppose l'arc x infini, doit-on alors le regarder comme exactement égal à un nombre entier de circonférences? C'est ce qu'on ne voit pas. Tout ce qu'il est permis d'affirmer, c'est qu'aucun arc assignable, quelque grand qu'il soit, ne peut tenir la place de x : sin rx est donc, dans ce cas, une quantité indéterminée. Il n'en est pas de même de la

valeur de Jé~~" "^ Ax cos rx, à cause du facteur e""" ^ , qui diminue toujours à mesure que x augmente; et puisque cette intégrale, en vertu de la loi de continuité, a pour limite fdixcosrx, la valeur de celle-ci sera la limite de celle de la première.

On connaît encore d'autres moyens de confirmer ce résultat , auquel Euler est parvenu en considérant l'intégrale fe~''^^dx cos rx, k désignant une constante quelconque. Si l'on intègre par parties, en commençant par le facteur dxcosrx, on aura

fe~''^ Ax cos r^ = - e~"^^sin rx -\ — fe~ ^ ûx sin rx,

puis, en opérant sur d^ sin rx,

Ce~^^dx sin rx = — - e~'^^ cos rx *- Je"'''éx cos rx,

ce qui donne

1 I H- -^ ) fe~^'^dx cos rx = - e~^-^ sin rx '- e~^' cos rx,

et par conséquent

r —lu . e~ "^{r sin rx — /,- cos rx] Je dxcos rx =r. i L.

Entre les limites ^ =: o et ;r = infini, l'expression qu'on vient

d'obtenir se réduit à -^ — j-^-, quantité qui devient nulle lors-

que k s'évanouissant, l'intégrale proposée se change en JAx cos rx.

En reprenant l'équation

fe~^^ dx sin rx = e~''^^cos rx fe^^^dx cos rx,

et menant pour l'intégrale du second membre sa valeur déjà trouvée, on arrive à

r —kx 1 • e~^^(rcos rx + /rsin rx)

valeur qui se réduit à — j--, quand on la prend entre les li-

mites X =: o et x= infini.

La supposition de /r — o donne

fdx sin rx = -»

autre résultat remarquable, qui ne paraît pas suivre immédiatement de l'expression

fdx sin rx^= cos rx + const.

433. La transformation des quantités réelles en imaginaires est un artifice, d'analyse qui a fait découvrir plusieurs inté-

04 DES DIFFEREXCES

grales définies remarquables. Nous emprunterons ici un exem. 1 pie à Fourier (*).

Lorsque dans l'intégrale fe~''dt= \/k (429), on fait .r(i-+-v/^)

on en tire

-^ fe V 'dx = v'^;

et comme

e~^'^~'=:cos(^' — v/--!" sin(:i:') (187), on obtient ensuite

-= !/d^ cos(:r') — s/— I fdx sin (x^)} = \/-.

En séparant les parties réelles et les parties imaginaires de cette équation, on en déduit deux autres, savoir :

—z:\fdx cos(x=) H- /"d^ sin (^')|;=i \/7r,

Jda: ros{x^} — fdx sin (x^) = o, d'où

yd^ cos [x^) = /do: sin (x^) = - v/277 = \/ -",

les limites de ^ étant — l'infini et -h l'infini comme celles de t. Il faut observer que cet artifice a été employé surtout comme moyen de recherche, et qu'on s'est attaché à en vérifier les résultats : ceux que je viens de rapporter sont connus d'ailleurs.

434. La continuité qui existe entre les diverses valeurs que prend une intégrale, en raison de celles qu'on assigne aux quantités dont elle dépend, a donné lieu d'appliquer les intégrales définies à l'interpolation des suites (388).

( * ) Théorie de la Chaleur, p. 533.

Lorsqu'on fait /?î = o, dans le développement de fx'"dx{\x)'' (208), et qu'on prend celle intégrale entre les limites x =. o et ^=r I, pour lesquelles la partie délivrée du signe/, composée de termes de la forme x (1 xy, s'anéantit, parce que r est positif comme Ji (99), il ne reste que le dernier terme, et l'on a

fdx{\x)" = -±ii.-}..3. . .71,

-h quand n est pair et — dans le cas contraire. On évite cette distinction en donnant le signe — à \x, ce qui change l'équation ci-dessus en

fdx{ — \x)"=fdx (\ -V'^ 1.2.3. . .«, résultat qui s'obtient tout de suite, en observant que

et qu'entre les limites .r -= o, :r = i, on a seulement

/d.(ii)-=„/d.(ii)"-.

On pourra donc regarder l'intégrale fdx ( 1 - ) comme exprimant le terme général de la série des produits

I, I, 1.2, 1.2.3,..., 1.2.3...., n, etc., correspondant aux indices

o, 1 , 2, 3 , n, etc.;

et en effet elle en a toutes les propriétés connues pour les valeurs entières de n (*). En donnant donc à cet exposant des valeurs fractionnaires ou même irrationnelles, on introduirait dans la série, des termes intermédiaires assujettis à la même loi que les autres.

( * ) Pour voir comment le premier terme de la suite supérieure correspond à zéro dans la suite inférieure, il faut faire « = o dans/ d t ( 1 -) , qui devient Si\ors f d X = X = 1, dans les limites prescrites.

Le cas où n = - est des plus remarquables ; car I t

Vandermonde et Kramp avaient proposé, il y a longtemps, d'introduire dans l'analyse la fonction qui représente le terme général de la série ci-dessus, comme exprimant un nouveau genre de quantités transcendantes, douées de propriétés remarquables par leur analogie avec celles des puissances; et depuis, Legendre, s'attacliant à leur expression en intégrales définies, en a déduit beaucoup de relations très-utiles, en a calculé des tables numériques fort étendues, et les a désignées par la caractéristique r, en posant pour définition

en sorte que

r (n + i) -— nr(n),

k3o. L'expression de - trouvée dans le n" 428, entre dans

une formule donnée parStirling, pour calculer la somme d'une suite de logarithmes appartenant à des nombres en progression par différence, et à laquelle on peut parvenir comme il suit.

Par le n° 411, on a

- 1 ^ j I h dic //^ d' it

h«=-r uax -^, — u ^. i i — - -+■ etc. -h const.;

li"^ 2 12 dx 720 djc'

etsi l'on fait ?^=:1^ et /i = i, en observant que /d^l^=:xl^ — x (208), on obtiendra