V " "' "' II*

l(n-«)r^ ^. j etc. (20),

lorsqu'on y change u en u~ , donne

1 1 1 -+- U ) — + — -- 1- etc.:

et par la soustraction, on en déduit

Faisant alors u =^ e" ' , d'où il suit 1 u =:^ x\j — i ,

é~"'^ ~' =: 2 y — I sin mx,

on aura, par la substitution de ces valeurs,

/sin a- sinax sin 3 r \

-^^{- ^ + -^-etc.j,

et par conséquent

- X 2= Sin X sin IX -\ — sin 3 x — etc.

Déplus, comme x« = 2/xdx, x' = 3/x"dx, etc., on remonterait sans peine aux puissances supérieures de x, ainsi que Daniel Bernoulli l'a fait, mais pour un but différent, dans les Noyi Comment. Acad. Petropolitanœ, ann. 1772, page rj.

d'où il résulte

n=i, w, — 2, «, = 3, etc.,

A = -5 A,-— ? A. = -5 etc.,

2 = 2 f e"~-^'sin^ e~'^^'sin z:v -h ^ ^~~^^* sinSx — etc. )•

438. Nous ne nous arrêterons pas aux autres cas particuliers; nous passerons au problème plus général: exprimer une fonction quelconque, par une série formée de sinus ou de cosinus des multiples d'un arc. Les recherches sur le système du monde avaient conduit Euler, dès 1748, à s'occuper de ce problème ; puis Clairaut l'énonça d'une manière fort étendue [Méni. de l'Acad. des Sciences, année 1754, p. 545), et en donna une solution très-ingénieuse (*). Fourier y fut conduit aussi dans sa Théorie de la Chaleur; mais le procédé qu'il emploie pour opérer ces développements, et que nous allons suivre, se trouvait déjà à la p. 11 5, du t. XI, des Nova acta Acad. Petrop. (imprimé en 1798), comme l'a remarqué M. Jacobi. Euler n'applique ce procédé que sous la condition qu'on s'est assuré a /)r/<;rr que la fonction est développable dans la forme assignée, et nous ferons la même hypothèse.

Soit premièrement

f (^j 1= Ux sin jp-i- a.sin ix H-rtsSin 3;r + etc.,

où les multiplicateurs de l'arc x sont la suite des nombres naturels.

En changeante: en t dans cette équation, multipliant ensuite les deux membres par d f sin nt, et prenant les intégrales depuis / = o jusqu'à t =Tz, Tz désignant la demi-circonférence, on aura

/f(^)d^sin nt = a,/df sin 7itsinnt-{-ajfdtsm -zts'mnt. . . H- amfdt sin mt sin nt -+- etc.

( * ) Voy. aussi le Traité in- 4°, t. II, p. 121,

ET DES SERIES. g$

Or

fdts'in ml sin nt — -/tî t cos {m — n)t —'-fdt cos [m + n) /

^ sin [ m — n]t sin [m -h n)t

expression que les limites o et w rendent nulle, tant que n, supposé toujours un nombre entier, diffère de m. Ainsi, pour chaque valeur assignée à n, tous les termes de la série précédente disparaîtront, excepté celui dont l'indice est égala cette valeur. Sa seconde partie disparaît encore, mais la première,

qui se présente alors sous la forme -■> a pour vraie valeur - et

devient -, entre les limites de l'intégration : on aura donc

f(0 dt sin mt ==«„-, /o 2

et par conséquent

f(/)df sin mt.

De cette manière, chacun des coefficients <7|, rh, etc., est exprimé par une intégrale définie prise entre les limites o et tt, et l'on a, pour le développement cherché,

{ f (^) = - I sina;/f(;)d;sin /H- sin2:r/f (f ) df sin 2/, . .

( 4- sin w^/f (/)d?sin m; 4- etc. |.

Quand i[x) =x, il vient

/f(/) df sin mt — ftdt sin Dit

t cos mt I /-, , = i lat cos mt

t cos mt sin mt m m^

el entre les limites o et tt, cela se réduit à

• 77 COS niTT 77 (-

Donnant ensuite à m les valeurs i, 2, 3, etc., et supprimant tt, qui est facteur commun des deux membres, on trouve le développement particulier

^ = 2 ( sin X sin 2^ + - sin 3x — etc. ) »

rapporté dans le numéro précédent.