IV

Sur l'intégration d'une certaine classe d'équations différentielles simultanées; par M. Ossian Bonnet (*).

18. M. J.-A. Serret a intégré le premier, dans le cas général, l'équalion aux différentielles partielles du premier ordre qui représente les surfaces à lignes d'une des courbuues sphériques. La méthode dont il s'est servi repose sur la détermination de quatre fonctions x, y, z, c d'une variable w renfern;ant deux constantes arbitraires et vérifiant: i°les trois équations différentielles

dx dr dz ^^ .

2" l'équation en termes flnis

où a, h, c, n, r expriment cinq fonctions entièrement arbitraires de w.

M. Serreta d'ailleurs résolu d'une manière très-élégante ce dernier problème en s'aidant des formules relatives à la théorie des courbes gauches qui déjà avaient permis de traiter plusieurs questions importantes.

Je me propose dans celte Note de généraliser les résultats de M. Serrel et de faire voir que l'on peut déterminer les valeurs les plus générales des p fonctions x, /,..-, t, u, v d'une variable w qui vérifient i i° les p—i équations différentielles

dx dy __ dt du dv

2" l'équation en termes finis

(2) [x—af^-iy—hy -h . . .-\- {t ~ l y-{- {u — my+iv — JiY = r%

où a, b,.. .,1, m, n, r expriment p h- i fonctions entièrement arbitraires de w.

(*) Nous croyons utile de faire connaître ici l'extension remarquable que M. Ossian Bonnet a donnée à la méthode développée dans le para;;raphe précédent (L'article que nous reproduisons textuellement est extrait des Co ' pies rendus des séances de V Académie des Sciences, t. LUI, p. 97 i . )

3l8 NOTE SUR LA THEORIE

Substituons d'abord , comme le fait M. Serrct , aux p fonctions arbitraires a, b,..., l, m, n, d'autres fonctions «I, b,,..., /,, /n,, /, liées aux premières et à r par les relations

da = d — i dl— ' d. —,•••■,

V'l-+-af-*-iJ-h..--h/«i- 'i V^i-t-"- -H^î-i- ...-t-/"î '"'

dm z= ■ 1 d. —, dn=i ' d. —

Remplaçons en outre les inconnues x, y;. . ., t, u, c par les inconnues x„ j,,. . ., /,, m,, v„ telles que

r l nr.x, \

les équations (i) et (2) deviendront

p. dx^ dy\ du^ ,

ai 6, ' * ' tUi

(4) a,x,-\-biX,-h .. . H-m,«, + f. = r,,

d'où l'on tire par l'élimination de c^, :

(i+«'4-6' +... -\- m])dx,=z Uiidn — x,da, — y.db, — ... — u^dm^), ) (i -h a^ 4- Z>J + ... H- m\)dx> = b,{dt\ — x4a, — j.f/è, — ... — u,dm,),

[ (i -\-a\ -^ b\ -T- . . . -i- m\)dui =:m^{dri — x^da^ — fidby — ... — u.dnh).

Les équations précédentes étant linéaires, elles pourront être intégrées complètement, lorsqu'on saura déterminer les intégrales générales des équations

[ ( I +«^H-6| -|-...-hm^ )dx2 = — ai{x.dci,-\-y,db , -f- ... -i- i^dm, ), j ( I -+- a; -i- b ] + ...-+- m] )df,= — b^{x-idn,-^ r^dbi-^ ... -+■ u^dnh),

I 4- « ' -i- Z> ; 4- . . . + wi J ) du, = — m 1 ( x-^dcii -+- }\dbi 4- . . . -f- Uidnii ),

DES LIGNES ET DES SURFACES COURBFS. 3l9

obtenues en négligeant les tei nés tout connus clans les équations (5 j. Or, en posant

(hcj^ dy\ __ __ du.

on trouve aisément

rt, Xj -h 6, r, + ...-[- m, II, H- (',, =r a,

^ l + r ; 4- . . . -f- « ^ + {(', - xy = p,

aet p étant des constantes arbitraires, d'où en éliminant Cj

^ l 4- r ; -F. . . 4-« l + («, ^3 + 6, j,+ . . + m, wj)' = p.

On conclut de là que les équations (6) peuvent être remplacées par les suivantes :

/ dx^ dy\ __ dtj du-,

Nous ferons la constante arbitraire p égale à zéro, les équations

/ dxj^ dy\ __ ^ dt^ du,

' X?, +j ^ H-. . .-h ? ^ +?<^ + (rt,^2-!- />! jr>-r-.. .+ /,^ + w,.v,)- = G

auxquelles se réduiront les équations (7), seront moins générales que les équations (6), mais elles définiront /^ — 2 intégrales particulières des équations (6). Or on sait que, lorsqu'on a un système d'équations linéaires du premier ordre et sans second membre, si l'on connaît un nombre d'intégrales particulières inférieur d'une unité au nombre des équations ou des inconnues, on peut déterminer les intégrales générales par des quadratures. Toute la question est donc ramenée à trouver les valeurs les plus générales de x-,, y\,. . ., t^, u^ qui vérifient les équations ( 8 ).

Je fais

X, = hxy. , n = h)\ , . . . , U^^ht^y u, = hui ,

320 NOTE srr. la TIIÉOUIE, kic.

avec la condition

(9) xl^xl^...-T-tl^ul=.i;

les équations ( 8) donneront

> o dh\ 'r) "-^^ \ f-\='^'

du, dx,

dfz

/.'/, rt,

/», rt,

m y b, nii

rti ^:, -1-6| 1

:, -!-...+/, fj -;- m, i<3 = i,

l'éqnation (lo) donne immédiatement h avec une constante arbitraire quand ^3 et J3 sont connus. Il suffit donc de trouver les valeurs les plus générales de X3, j,,. . ., t^, m, qui vérifient l'équation ( 9) et les équations (1 1). Pour cela, je pose

■?.tt i — x] — rl—--—t]

^.î — -. -, — •> u. ~~ -. — —^, rT^ '

i-i-x, -i-y; -y...-^ t; i +xi +r; -+-. .-^t]

ce qui permet de laisser de côté la condition (9); puis, pour abréger, je fais

h' nit^ i m , -h i