UX
2 ny\
2 HZ,
^ = a H- /' I — ^r- ;— : — COS a | ■>
= c + ;■ — — - — — COS 7 7
(") M. Ossian Bonnet s'est occupé le premier de la recherche des surfaces dont il s'agit ici. Mais les formules qu'il a données me paraissent trop compliquées pour qu'on puisse en tirer parti ; aussi je crois faire une chose utile en publiant le résultat si simple que j'ai obtenu. On verra d'ailleurs que l'analyse dont je fais usage s'applique sans difficulté au cas général, non encore résolu, des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont sphériques.
3o8 NOTE SLR LA THEORIE
d'où l'on lire, on ayant égard à l'équalicn (i),
u{x — a-l-rcosa) (se — a) cos y--\-{x — b) cos o + {z — c)cos7 -h '• ii{r — 6-r-rcos^)
\ .> I ( ^ ^, j cos 5, | ( j f) ) poS ^ -t- ( 2 C ) COS 7 H- /•'
u{z — c -{- r 008 7 ) {:v — ft)COS a.-{-(f — b) COSo -\-{z — f) C0.S7-i-/"
Au moyen des équations (3) et (4) les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :
(6) :r, cos a+j, cos? 4-2, cos 7 = «,
, . djc, __ c/y, __ dz,
cos a cos 6 cos 7'
on voit que si l'on considère ^,, j',, 2,, comme des coordonnées rectangulaires, les équations (7) appartiendront aux trajectoires orthogonales du plan mobile représenté par l'équation (6).
14. Nous conserverons toutes les notations dont nous avons fait usage au n° 12. Ainsi nous désignerons par ç, v, Ç; )., p, v les angles formés avec les axes par le rayon de courbure et par l'axe du plan osculaleur de la trajectoire du plan (6); par de l'angle de deux tangentes infiniment voisines et pardn l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins. Désignant en outre par A et B deux constantes arbitraires, et posant
U = A sin ï! + B cos r, — ^{n),
les trajectoires orthogonales du plan (6) seront représentées par l'équation (6) jointe aux deux
(8) :r, cos). -f-j'i cosfi-i- 2, cosv = U,
(9) .r, cos i -rji cosu -}- 2, cos Ç =
dn
Si, dans les équations (8) et (9) on remplace x,, Vi, -Si par leurs valeurs tirées de (5), on aura deux nouvelles équations qui, jointes à l'équation (i), feront connaître les trajectoires orthogonales de la sphère ( i ). Enfin, si l'on exprime A et B en lonction d'un paramètre 6 et d'une fonction arbitraire de ce paramètre, les mômes trois équations représenteront les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont situées sur des sphères normales à la surface. Les équations que nous formons ainsi contiennent seize quantités fondions du paramèire t, savoir : a,b,c,r, î/ou?(») et les onze angles a, 6, 7; i',u, Ç; /, p., v; s et n. Toutes ces seize quantités peuvent s'exprimer immédiatement, dans le cas général, en fonction du paramètre tel de trois fonctions arbitraires de ce paramètre; cela peut se faire d'une infinité de manières; le choix du paramètre et des fonctions arbirraires doit être subordonné aux convenances du cas particulier que l'on veut étudier.
Considérons, par exemple, le cas où les sphères i\in contiennent les lignes de courbure ont leurs centres en ligne droite. On pourra faire ici
fiz^o, h=^o, cosar^o, cos6 = o, cos 7 ^= I ;
alors les équations (7) se réduisent à
dxi = o, (lj\^o,
cl nous pouvons poser
Y désignant une fonction arbitraire. Faisant ensuite
on a
"~f[ty
et si l'on pose
3lO XOÏE SUR LA THÉORIE
l'équalion (lo) se réduit à V=o en vertu de (5). La surface -que nous considérons ici sera donc représentée par l'équalion V^ G jointe à l'équation (i); il est aisé d'assurer qu'elle peut l'être aussi par les deux équations
résultat que j'ai donné déjà dans mon Mémoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou spliériques. Remarquons encore le cas où les sphères qui contiennent les lignes de courbure ont seulement leurs centres dans un même plan. Ce cas se ramène innnédiatement, d'après ce qui précède, au cas des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont dans des plans parallèles à une droite fixe et normaux à la surface.
15. Sur les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont spliériques. Soient x, y, z des coordonnées reclanç^ulaires et a, b, c, r, l des fonctions d'un paramètre /, dont Ui dernière /contient le facteur y/ — i. Si l'on pose
dz = pdx H- qdy,
l'équation différentielle des surfaces dont il s'agit sera le résultat de l'élimination du paramètre t entre les deux équations
(i) {x — aY -^{r—by ^[z—cY-:--r' — l\
(2) ^[x-a)p- [y-b)q-\-[z-c] ^lsj—i—p' — q\
Soient x^, y\, z^, Vo quatre fonctions inconnues de t, assujetties à vérifier les équations
( 3 ) [x,-aY--^ ( jo 6) M- (i^o — cY ^{u,— lY = r\ ,,. dx„ dr» __ dzo dvp
et posons
DES LIGNES ET DES SUUFACES COURBES. O i I
II est aisé de s'assurer que l'équation V = o satisfait à l'équalion (2) ; elle sera donc une intégrale complète de celle-ci, si les valeurs de Xa,y\, z^, Va tirées des équations (3) et (4) renferment dans leurs expressions deux constantes arbitraires. Si, en outre, on exprime les deux constantes dont il s'agit en fonction d'un paramètre et d'une fonction arbitraire de ce paramètre, l'intégrale générale de l'équation (2) sera le résultat de l'élimination de 9 entre les deux équations
Enfin l'équation intégrale des surfaces dont nous nous occupons sera le résultat de l'élimination de t et 9 entre les équations (i) et (6).
Soient «,, ^,, c,, /, et u cinq fonctions de f, choisies de manière que l'on ait
( 8 ) da -^ rud — 5 db== rud — ■> de = nul — ? dl^= rud — » u u u u
et prenons, au lieu de ^0, jo, 2o,Co, quatre nouvelles variables jc, , j',, z,, f|, telles que
/ 2 nXx \
lUZx
2 UVs
Au moyen des équations (7), (8), (9), les équations (3) et (4) se réduisent à
(10) a,^, -4- 6, j, + c,s, -h At'. :=f^,
dxx dy\ f/z, rA^
rt, ~ 6, ~ c, "" /, '
3l2 \OTE SUU I.A TIIÉORIK
ei la question est ramenée à trouver des valeurs de X: , y\ , Z|, Vt, qui satisfassent à ces équations et qui renferment dans leurs expressions deux constantes arbitraires.
Remarquons d'abord le cas où les sphères qui contiennent les lignes de courbure ont leurs centres dans le môme plan. En prenant ce plan pour celui des xy, on a c = o, puis on peut faire c, = o et z, = o, ou = une constante. On voit alors que le problème est immédiatement ramené à la détermination de. trajectoires orthogonales d'un plan mobile.
IG. Considérons maintenant le cas général. Nous poserons
en outre, pour n'avoir dans nos formules que des quantités réelles, nous remplacerons c, par f , y^ — i. Les équations (lo) ci (il) deviennent alors
(12) O^iCOSaH- jJ'iCOSê -(- S,C0S7 ^^ ^'''1 ~^ "'»
dx, dy, dz, dvt
COSa COSê COS7 /'
On peut regarder a, 6, 7 comme les angles que fait avec les axes la tangente d'une courbe arbitraire; nous désignerons parÇ, u, ;; X, p, v les angles formés avec les mêmes axes par le rayon de courbure et par l'axe du plan osculateur de cette courbe arbitraire; par dz l'angle de deux tangentes infiniment voisines, et par drt l'angle de deux plans osculateurs infmimeni voisins.
Cela posé, pour intégrer les équations (i3), nous poserons
(l4) ^iCOSX -T-J", COStA 4- 2iC0Sv = U.
Différentiant trois fois cette équation et ayant égard aux équa-
DES I.IÎJXES ET DES SURFACES COUIIBES. 3l3
lions (12) et (i3), ainsi qu'aux formules des n"' il et suivants, il vient
^'5 j Jt-, COSÇ -h riCOSu --■- Z,COS(^ = -j—i
an , r^ "' I dn/d'U ,,
^•^^ ■ ''-~-T-Tin[-d7-^''
I J d^ch^ dn d Vdn fd'V \1 dV
^'"^ /' ded^'^ de dn \di\dn' "^ J \^ 1^ ~ ^'
dr, étant prise pour la différentielle constante. Posons, pour abréger,
. /i \dn dVdr./d'l] \1 X dV (drVfd'M \ d\}
si l'on tire de l'équation (16) la valeur de -j^ pour la porter dans l'équation ( 17 ), on obtiendra
Désignant par ç{rj) une fonction arbitraire, }!0us poserons
(.9) u'=.-l'Jl''^^{>^]d;,
et, en faisant
l'équation ( 18 ) se réduit à (20) ^(U.) = o.
Cette équation devient intégrable, si on la multiplie par le facteur 2.(-j^-h U,| et l'on obtient, en intégrant,
Nous pouvons supposer la constante nulle, car il suffit pour notre objet que l'expression de U, renferme deux constantes arbitraires; alors si l'on désigne par A une constante arbitraire, par no une valeur initiale quelconque de n, par e la base des
Lacroix, Cale, dijf.. II. 21
3l4 NOTF. SUR LA THÉOKIE
logarithmes népériens, el que l'on pose
U, = A( l'équalion (21) devient
dt
Désignons par ^[/(y, ) une fonction arbitraire, par •y(»;) la dérivée de cette fonction, et déterminons /' par l'équation
-hi
cU
)Osons aussi
l'équation (22) devient 24 -T^ — ' U, -- = 0.
^' dr, 21!/ 2
Celte équation (24) est linéaire, et l'on en tire immédiatement
B étant une constante arbitraire.
On obtiendra donc ainsi sans difficulté une valeur de U renfermant deux constantes arbitraires A et B; la valeur de U étant connue, l'équation (16) donnera c, , et l'on aura ejisui"^ Xi, y\, Zi au moyen des équations (12), (i4) et (i5).
Si l'on pose
cosX COSp COSv
DES LIGNES ET DES SURFACES COURRES. 3l5
on pourra exprimer immédiatement les angles )., p., v; ç, v, 'c; «> S, 7; Ji et g en fonction du paramètre t et de la fonction arbitraire/(^); si l'on met ensuite ^{t) et ^(/jau lieu de (f{n) et ^(r,), et que l'on désigne enfin la quantité /- par F(t), toutes les quantités qui figurent dans nos équations pourront s'exprimer facilement au moyen du paramètre t et des quatre fonctionsarbilraires/(;), F{t), ^{t)w{t). Le problème que nous nous étions proposé se trouve donc résolu dans toute sa généralité. Il reste nombre de détails à examiner; je les étudierai ailleurs.
Il faut remarquer un cas particulier qui, par sa nature, se distingue essentiellement du cas général; je veux parler du cas de /■=o. En changeant / en l\/ — i, les équations (i) et (2) deviennent
(.r ay-h ir — /')H- (z — cy-= l\
— p{x — a) — q{r—b) + {z — c) = l \J i-+-jy-\- q'; en éliminant /, il vient
[rx - «)+/7(^ c)i/ + [(r - i) -f- -7 (3 - c)]' H- [-7 (x— a) — /^ (r— i)p = 0, et pour obtenir une surface réelle, il faut que l'on ait X — a-\- p{z — c) = o, ( r — b)-^ q{z — c)=^o. Si donc M désigne l'expression (.r — aY-\- (>■— 6)'4-(z — cy—l^,
on aura —1— = o, et notre suriace, qui est alors représentée par les équations
sera l'enveloppe d'une sphère mobile et variable de grandeur. Les lignes de courbure sphériques sont ici des circonférences. Si le cas de r = o échappe à notre analyse, les surfaces à lignes de courbure circulaires n'en sont pas moins données par notre méthode générale. Ces surfaces correspondent effectivement à l'intégrale complète de l'équation (2) qui nous a servi de point de départ; je dois même ajouter que c'est par la considération à priori des surfaces à lignes de courbure circulaires que j'ai été conduit à l'intégrale complète dont il s'agit.
3l6 XOTE SLR LA TIlÉOltlE
17. Sur les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont planes. Au moyen de la iransformation dite par rayons vecteurs réciproques, on passe immédiatement des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont sphériques aux surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont planes (*). La recherche de ces dernières surfaces, déjà faite par M. Ossian Bonnet, est donc comprise implicitement dans ce qui précède; mais il n'est pas sans intérêt de remarquer que cette recherche se ramène immédiatement à l'intégration des équations (t3) du n° 16. Effectivement, x, j, z désignant des coordonnées rectangulaires, a, 6, y, u, l des fonctions d'un paramétre t, si l'on pose dz=pdx -{- qdy, l'équation différentielle des surfaces dont il s'agit sera le résultat de l'élimination du paramètre t entre les équations
(l) XCOSa -(- rCOSê -4- 3COS7 =: «,
[i) — pcosoi — mycose -t- cos'/ = /y'n- />'+ q' .
Soient jf,, y,, Zi, f, quatre fonctions inconnues de t, assujetties à vérifier les équations
(3) • :t, COSa -1- riC0s6-r- '1COS7 =^ /fi-|- «,
dxi dfx __ dz, dv, ^^' cos a COS6~~COS7 /
cl posons
l'équation V=: o satisfera à l'équation (2), et elle en sera une intégrale complète si les valeurs de :r,,ri, z,, t/, tirées des équations (3) et (4) renferment dans leurs expressions deux constantes arbitraires. Le problème est donc ramené à l'intégration des équations (4)» intégration qui se trouve effectuée dans le numéro précédent.
( * ) Il sufiit effectivement de supposer que les sphères qui conlieiineiit les lignes de courbure passent toutes par un même point, et de prendre ce poiiil pour centre de transforniatit.n.
DES LIGiVES ET DES SURFACES COURBES. ilj
