CUBES

DIFFÉRENCE l""*".

etc.

Je n'ai point fait entrer dans ces tableaux la suite naturelle des nombres 1,2, 3, 4, etc., parce que la différence de l'un à l'autre est toujours égale à l'unité.

A côté des carrés, le premier tableau contient, dans une seconde colonne, la différence entre chacun de ceux-ci et celui qui le précède; puis dans une troisième colonne, la différence entre chacun des nombres de la seconde et celui qui le précède. Ces dernières sont nommées différences secondes, comme étant les différences des différences premières.

Celles-ci, formant une progression par différences, présentent déjà une loi plus simple que les nombres de la première colonne; et les autres, étant constantes, offrent encore une nouvelle simplification. Une conséquence assez importante de l'enchaînement de ces différences, c'est qu'on peut, au moyen des seuls nombres 1, 3, 2, placés respectivement à la tête des trois colonnes du tableau, former, par de simples additions, la colonne des carrés; car en ajoutant 2 a 3, on aura 5, puis 2 à 5, on aura 7, et l'on formera ainsi la seconde colonne; ajoutant ensuite 3 avec i, on aura 4; 5 avec 4, on aura g, et ainsi des autres carrés.

La première colonne du second tableau contient les cubes; la deuxième, leurs différences premières; la troisième, leurs différences secondes, qui ne forment plus qu'une progression

par différences; el enfin, dans la quatrième colonne, les différences des différences secondes, ou les différences troisièmes, qui sont constantes.

Ici, au moyen des quatre nombres 'i, 7, 12 et 6 placés respectivement en tête des diverses colonnes du tableau, on pourra former toutes ces colonnes, en commençant par celle de la droite, et en ajoutant chacun des nombres d'une même colonne avec celui qui se trouve sur une ligne plus haut, dans la colonne à gauche.

Cette règle, qui n'est encore établie que sur une simple induction, et pour deux séries de nombres seulement, sera bientôt démontrée el étendue à un nombre infini de fonctions, pour lesquelles on obtient ainsi des déterminations rigoureuses.

D'un autre côté, que dans une table de logarithmes on prenne les différences premières entre ceux des nombres consécutifs, elles auront une marche fort inégale, si l'on opère dans le commencement de la table, où la fonction varie beaucoup; mais en passant aux différences secondes, troisièmes, etc., on en trouvera qui deviendront fort petites, et finiront par rester les mêmes dans un intervalle plus ou moins grand. Les logarithmes suivront donc sensiblement, pendant cet intervalle, Une loi analogue à celle que nous avons fait remarquer ci-dessus, par rapport aux carrés et aux cubes, et dont on peut faire usage pour simplifier la construction de cette table.

375. Quand on a vu le parti qu'on peut tirer de la considération des différences successives, poussées jusqu'à l'ordre où elles sont constantes, soit rigoureusement, soit à très-peu près, il paraît tout simple de chercher l'expression générale de leurs relations. Pour cela, soit

Uj Ml, U,, U3,. . . , u„

r.ne série de valeurs consécutives que reçoit une quantité, en vertu des variations qu'elle éprouve par elle-même, ou par l'effet de celles qui arrivent à une autre dont elle dépend; les chiffres inférieurs sont ici des indices qui font connaître le rang qu'occupe chaque valeur dans la série, en marquant le

nombre de celles qui la précèdent, en sorte que la première, u, est censée répondre à l'indice o. On fait ensuite

= Ml,

^Am,,

en se servant de la caractéristique A, pour indiquer l'opération de prendre la différence entre deux valeurs consécutives d'une même quantité.

Lorsque celte quantité varie par des degrés égaux, les différences Aw, Am,, amj, etc., sont toutes égales ; mais si le contraire a lieu, on fait, par analogie,

(' AUi An =zàAn :=y-ii,

A Un lu, = AAllt =zA'i(,,

A u„ — A ii„, — AA;/„, = A=K„,,

A2«, — A'u = AA2 u = A^u, AUl> — A=?^ =i:AA2«, =A'w,,

l AUf,, — A'?o,, = AA^Z/„, = A' ;/„,.

En poursuivant de cette manière, on tire des valeurs m, u,, U:,. . .,11,,, une suite de différences dont le nombre des ordres est au plus égal à celui de ces valeurs, diminué de l'unité.

376. Il est visible que, suivant la notation ci-dessus, la différence d'une expression quelconque s'indiquera en plaçant devant chacun de ses termes la caractéristique A, en sorte que

A(« H- (^ — «') = «, + c, — w, — [u-T- V — w] = AM + Af — A Cl',

de même que

d(?« + c — (v) = d?«+df — dcv (10).

On a aussi

A[au] ou A.au=^ a[Ui — u] = alu,

de même que d.ait = adu (11); et les constantes isolées des

variables disparaissent quand on prend la différence d'une fonction (7).

377. Au moyen de ces règles et des équations (i), on obtient pour les valeurs a,, ih, u^,. . .,Un, des expressions qui ne dépendent que de la valeur primordiale u et de ses différences Au, Au, etc.; car, puisque

&Ui = A[u-\- \u] = A ?< -f- A' ?< , il en résulte

«2 = Ml -h A ;^, = u -+- Au-h a[u -h àu) = U-+-2àU -h à-u,

et de même

U3 = ^^2 -h A Uj

= U -h '?.^u -i- A^U ~{- Al u -i- lAu-\- A''u) =: U-Jr-3AU-h^\^U-+-A^U.

La forme de ces expressions, dont les coefficients numériques sont les mêmes que ceux du carré et du cube du binôme, conduit par analogie à

Ji nin — I ) „ n[n — i ) f /i — 2 ) ^^„ == M + - A ;< + -i 1 AHi 4- ^ '-^ ' A' u -}- etc.;

ce qu'on peut vérifier aisément au moyen de l'équation

dont le développement montre que la loi ayant lieu pour l'ordre n, a nécessairement lieu pour l'ordre n-{- i.

378. On peut aussi exprimer immédiatement la différence d'un ordre quelconque par les termes de la série primitive, qui ont concouru à former cette différence.

Ayant d'abord

Au = Ui — u et A'« = Am, — Au, on observera que Aw, doit être composé avec z/, et Wj, comme

àu l'est avec u et u,, c'est-à-dire qu'il suffit d'augmenter de l'unité les indices, pour passera a 11,^=11. — u^, et l'on obtiendra

^^U = Ui — u^ — [u, — u)

= Uï — 2;<,H- u ;

puis augmentant de l'unité les indices, dans ce dernier résultai pour former A' u^ , il viendra

à}u = A=i<, l-U = Ui — 2«o -f- », — {l(, — 2«, -f- n]

:= 1(3 3lt. -\- '6 Ut — u,

et par analogie

A" n = u„ w„, H ^ i(„, '-^ ?<„3 + etc. ,

loi qui se vérifierait par le développement de l'équation

A"+'H=:iA"Ui A"U.

Ce résultat et le précédent reviennent à

pourvu que l'on change dans le développement de l'un, les exposants des puissances de Au en exposants de la caractéristique A, et dans celui de l'autre, les exposants de u en indices ; on peut même poser tout de suite

et il n'y aura rien à changer dans le développement.

Pour tirer de [i-h^u]" le développement que cette expression représente, il faut considérer que, dans l'ordre des puissances i = a m", et en passant l'exposant o à la caractéristique A, on aura \°u = u.

379. Lorsqu'une fonction est donnée , rien n'est plus facile que d'en obtenir les différences successives ; je prendrai pour exemple la fonction x'". En faisant u = x'", et supposant que se

augmente de la quantité //, on aura Ui=^ (^ -f- A)", et par conséquent

^u= (x-h hr — x"' = mx'"-' h -i ^ ^ x'"-' h'

A' H- etc.

Pour passer aux différences ultérieures A'm, a'«, etc., il faut faire varier x de nouveau, ce qui présente deux hypothèses. L'une consiste à supposer que la quantité x prenne toujours des accroissements égaux, et l'autre que ces accroissements soient eux-mêmes variables : je ne m'occuperai ici que de la première. En substituant x-\- h au lieu de x dans a u, on aura

A«, = m(x-h/i]"'-'/i-\ fx-h/i """'A^H-etc.

Il est visible que si l'on développe l'expression de A«,, et que l'on en retranche celle de A«, le résultat ordonné par rapport aux puissances de A sera de la forme

A^ Il = m [ m — I ) X'"-* A- -H M3 x-"-^ li^ -h M4 x"'-* A* -f- etc . ,

M3, M,, etc., désignant des coefficients dépendants de l'exposant m.

Par une nouvelle substitution de x-^h dans celte dernière équation, on parviendrait à A^a,, et en observant que ii=i<=zzA'M, — A-i<, on obtiendrait

^~u= m[m — « ) ( '" — ^ ) ■^"' ' ^'^ "•" ^ï'< ■^'"~' ^^* -►- etc .

La loi des premiers termes de chacun de ces développements est évidente, et l'on voit que l'expression de A" a doit commencer par

On voit aussi que, quand l'exposant m est entier et positif, le nombre des termes du développement de A"m, ordonné suivant les puissances de x, diminue de l'uniié lorsque n aug-

menle de celte quantité, et que quand ;i= m, il vient à"'it^^ ni[ni — 1 ) [m — 2 ) . . . i . h'".

Cette différence étant constante, il s'ensuit que celles des ordres supérieurs sont nulles.

On parvient facilement au terme général de à"u en formant l'expression de cette différence par le moyen des valeurs de it, u,,u2, «3, etc., sanspasser par celles de A;<, A^u, à^ u, etc. (378). II est évident que dans l'hypothèse présente les valeurs

répondent à

x-^ h, x-hih, X -\-Zli,. . ., X -h nhf et l'on a par conséquent

i(, = [x -h h)'", ii-, = [x-{-'j.li]"' ,. . . , u„^ [x -h nh]'" ; on tirera de là

Il in l] r , ^ 1 1

nin — i) [n

[x ->r[n — Sj/i]"" -f- etc.

Si l'on désigne par i l'exposant de li dans le terme général du développement de l'équation ci-dessus, l'expression de ce terme sera

[n , , nin — i ) , , . ~I

n^-[n-i\ + — ^-^(« — 2)'- etc. J 5

mais comme on vient de voir que le développement de a" «ne pouvait contenir des puissances de h dont l'exposant fût moindre que n, il s'ensuit que la fonction

- 2)' — etc., composée de n-\-i termes, est nulle tant que i<^n. D'un

lO DES DIFFERENCES

autre côté, le coefficient

m [m — I ) ( m — 2 ) . . . [ni — « -t- i ) 1.2.3... i

s'évanouissant lorsque /= m 4-1, il en résulte que la plus haute puissance de h, dans le développement de à"u, ne peut être que h'".

380. D'après la propriété du monôme x"", toute fonction rationnelle et entière de :r a toujours des différences constantes, savoir, celles dont l'ordre est marqué par l'exposant de la plus haute puissance de x, qui soit dans la fonction proposée. En effet, celle fonction étant de la forme Ax'-^- 4- Bx" -h Cx'^ -+■ etc., on aura

A" ( A x''- -f- B x^ + C x'^ + etc. ) = AA« . x'^-hB^'-.x^' -f- CA".x/ -h etc. (*) (376);

et si a désigne le plus haut exposant dex, il viendra, pour le cas où n = X,

A'^.x''^ i.?....«/i"j y^-.x^ = o, A='..r''^ = o, etc., €n sorte que

A'-' (A^"- -t-B^^ + C^'''+etc.l= 1.2.3. . .aA/t«.

381. C'est surtout par rapport aux fonctions transcendantes, dont le calcul approximatif est laborieux, que l'on gagne beaucoup à se servir des différences, ainsi que le fera voir l'exemple suivant, tiré des logarithmes.

Soit M = la:; on aura

= 1^4-M ^+0—3 — etc. 29 ,

\ X 2.x' ÔX^ )

d'où l'on tirera i<2, «3> etc., en mettant ih, 3 A, etc., au lieu

C) Il ne faut pas confondre A"* j:*'- avec A"x=^; car la première de ces expressions est la différence de l'ordre n de la fonction j:^, tandis que A"x«= (a"x)='-.

ET DES SERIES. Il

de II, ei les formules du n° 378 donneront

An =z M 1 ; + ô — , — etc.

etc.

M (^ ^3 etc

etc.

On poussera ces suites, suivant la grandeur du nombre x, jusqu'à ce que la dernière différence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible.

Si l'on avait, par exemple, ^ = loooo, et /«{= i, on trouverait pour les logarithmes ordinaires,

Au = o,oooo4 34272 76863,

et il est évident que si l'on ne voulait avoir les derniers résultats qu'avec dix chiffres seulement,, on pourrait, sans craindre d'erreur sensible, négliger longtemps les différences du quatrième ordre; car il faudrait qu'elles fussent répétées un grand nombre de fois, pour influer sur la différence troisième : on formerait donc successivement, suivant la règle du n° 374, les colonnes des différences troisièmes, secondes, premières, el enfin les logarithmes des nombres

loooi , 10002, iooo3, etc.,

en partant de celui de loooo, qui est égal à

Il faudrait faire le calcul avec i5 décimales, afin de reconnaître quand l'accumulation des quantités négligées pourrait commencer à influer sur le dernier chiffre qu'on se propose de conserver, ce dont on s'assure au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés; car lorsque, par la suite des additions successives, on parvient à

ces logarithmes, il faut que la méthode des différences les donne tels qu'ils ont été déduits à priori, au moins dans les dix premiers chiffres, si c'est à ce nombre que l'on veut s'arrêter. Lorsque le dernier de ces chiffres cesserait d'être exact, ce qui n'aurait pas encore lieu pour le nombre looSo, on calculerait de nouveau à priori les différences Ak, A^m, A^w, et l'on se servirait des nouvelles valeurs comme des précédentes, pour obtenir les logarithmes des nombres entiers qui suivent celui auquel on a dû s'arrêter.

Application du calcul des différences à l'interpolation des suites.

382. L'un des principaux usages du calcul des différences a pour objet V interpolation des suites, opération qui consiste à insérer entre les termes d'une suite, de nouveaux termes assujettis à la même loi que les premiers. Pour cela on regarde les différents termes de cette suite comme des valeurs particulières que reçoit la fonction qui exprime le terme général, lorsqu'on assigne également des valeurs particulières à la variable d'où dépend ce terme, et qui dépend elle-même du rang qu'il occupe dans la suite proposée. Quand l'expression de ce terme est donnée, on en tire autant de valeurs qu'on veut; mais il n'en est pas ainsi lorsqu'on ne connaît qu'un certain nombre des premiers termes de la suite, ce qui est le cas ordinaire auquel on applique l'interpolation.

11 faudrait alors déduire l'expression analytique d'une fonction, de celle d'un nombre limité de valeurs numériques, ce qui ne se peut quand la forme de la fonction est inconnue ; car on doit observer que ce problème revient à former l'équation d'une courbe passant par les points dont les valeurs de la variable indépendante représentent les abscisses, et celles de la fonction, les ordonnées, et qu'en quelque nombre que soient ces points, ils ne sauraient particulariser la courbe, si elle n'est pas donnée d'espèce. [Trig., 168.) Mais comme on ne cherche à interpoler une suite que dans des espaces très-resserrés. on conçoit que l'expression de son terme général est développée suivant les puissances ascendantes do sa variable, et qvi'il

est permis de se borner à un petit nombre des premières puissances de cette variable; par ce moyen, la forme de la fonction, qui est alors rationnelle, se trouve déterminée. Ainsi, sachant qu'aux valeurs

d'une variable quelconque x' , répondent les valeurs

II, II,, ih, u^, etc.,

d'une fonction u' de cette variable, on suppose que l'on ait en général

?<' = a -+- pa:' -^'/x'- -ir§x'^-\- etc. ,

et l'on détermine les coefficients a, p, y, etc., par la condition que z^' devienne successivement u, «,, u^, etc., lorsqu'on change x' en x, Xi, x,y etc.

Cette détermination présente deux cas : le premier, dans lequel les valeurs x, x^, x^i x^, etc. sont équidifférentes, se résout immédiatement par l'expression de «„ du n° 377.

En effet, soient m -+- i nombres donnés, et qu'on en prenne les différences relatives au premier terme, la formule rappelée deviendra

et si l'on y fait successivement

elle donnera les nombres

u, u,, iij,..., lu:

on peut donc la regarder comme une équation qui lie ces nombres avec l'indice du rang qu'ils occupent, ?i désignant alors une variable indéterminée.

11 est visible de plus que le second membre, étant développé et ordonné suivant les puissances de ji, prendra la forme

'JL -\- pn-hy /i -h . . . -t- V n'" ,

où a, p, 7,. . ., jA sont des nombres donnés, et semblable à celle qui a été posée ci-dessus en x'.

l4 DES DIFFÉREXCES

Faisons mainlenanl

uz^{[x), ^f| = f (^-T- A), . . . , «„= f(x + /i//), puis X -+- nh = x' , et nh = x' — x = h' ; et il en résultera

// h'[h'—h) , h'{h'—h){h'--ilv

Il II. 111 li.oli.ili

Enfin, si l'on représente u' — h par ^' n, il viendra

h' h'{/,' — /i] h'{h' — h]{h'—ih)

Il II. là II. 1 1l. ô II