g, 67, correspondante aux indices

o, I, 2, 3, 4; on a pour ce cas,

l'expression de A' u se réduit à ses deux premiers termes, et l'on obtient par son moyen

ainsi pour l'indice //', il viendra ?<'=3 4-4A'*- En prenant

/«'=-> par exemple, on trouverait que le terme correspondant à cet indice est 28.

Soit encore la suite

i> 4> 2, 3, 9, 16; en prenant les indices comme à l'ordinaire, savoir, o> i, 2, 3, 4, 5, etc..

et formant les différences, on trouvera

A*« = — 6, A^i^=o, A = i, d'où l'on tirera

En réduisant cette expression, et l'ordonnant par rapport aux puissances de h' , on aura

12^ 116A' — iii//- + 34/*'^— 3//'^

Il faut remarquer que cet exemple et le précédent n'offrent qu'un nombre limité d'ordres de différences. Sur ce pied, l'expression de u' , qui est aussi limitée, représente exactement le terme général des séries proposées, et peut servir à les prolonger autant qu'on le voudra. Tous les nombres qu'on en déduira suivront, par rapport à leurs différences, la même loi que les premiers termes desquels on est parti, et les séries dériveront ainsi d'une fonction algébrique rationnelle et entière.

384. Lorsqu'il s'agit de fonctions fractionnaires, irrationnelles ou transcendantes,, la suite des différences A m, a^m, a' m, etc. ne se termine plus rigoureusement, mais quand elle est décroissante, elle rend convergente l'expression

, h' h'(h'~h) li'ih'-h)[h'-ih)

h II. 111 II, 111. à II

et permet de la réduire à un petit nombre de termes, au moins pour un intervalle peu considérable. En voici un exemple tiré des tables de logarithmes. Je suppose que, par le moyen d'une table contenant les logarithmes depuis i jusqu'à 1000, avec dix décimales, on veuille avoir le logarithme de3,i4i5926536, nombre très-approchant du rapport de la circonférence au dia-

mètre; on regardera alors les logarithmes contenus dans la table comme des valeurs particulières de la fonction u, les nombres comme les indices auxquels répondent ces valeurs, et l'on formera le tableau suivant :

u =10,49699.96481 iCf = o ,4983 1 o5538 ^f3 = o , 4996870826 «3 = o , 5o 1 0592622 H^ = o , 502427 1 200

dont la première colonne renferme les logarithmes de

la seconde leurs différences premières, la troisième leurs différences secondes, la quatrième leurs différences troisièmes, et la cinquième leurs différences quatrièmes, qui se réduisent à 3 unités du dernier ordre. On aura par ce moyen

Au =-1-0,0013809057,

et comme /i = o,oi,

A' M = — o , ooooooooo3 ,

on obtiendra

2 /a h' — ih

kli

h h' I r ia r.

avec ces valeurs il sera très-facile de mettre en nombres la formule

li'[h'—li) [h' — ih]{h'~Zh) "^ h. 0^/1.3/14/1 '^"'

qui donnera u' = o ,497 1498726.

Il existe des moyens plus faciles pour obtenir les logarithmes Jes nombres exprimés par beaucoup de chiffres, mais le pré-

cèdent est très-propre à servir d'exemple pour la méthode d'interpolation. On doit reconnaître déjà que celte méthode s'étend à beaucoup d'autres cas; elle est surtout d'un trèsgrand usage dans les calculs astronomiques.

385. Lorsque les valeurs x, x,, x^, x-,, etc. ne sont pas équidifférentes, on emploie immédiatement la formule

II' z=z a-^-px' -\-yx'' + Sx'^ -+- etc.,

(hins laquelle la substitution des valeurs particulières x, ^,, Xj, Xi, etc., fournit les équations

u = a H- px -^ yx- -+- Sx^ + etc., M, = a + p^r, +7.^' -^-Sx] H- etc., Ujz= 0L-+- pxi -+-yxl -t- Sxl -h etc., î/j — a-|-p^3 -^-yx] -1-5^3 4-etc., etc.,

dont le nombre doit être égal à celui des coefficients indéterminés a, p, 7, etc.; et voici comment on obtient l'expression de ces coefficients.

En retranchant successivement la première équation de la seconde, celle-ci de la troisième, etc., on parvient à des résultats respectivement divisibles par or, — x, x^ — Xi, Xz — Xi, etc., et d'où l'on tire

' " =ip-|-7(^, x)-\-B [x\-^ Xy X -In X"^) -\- Q\Ç..y