Deuxième propriété des fonctions T. La propriété que
nous allons établir permet de réduire à - l'intervalle d'une
unité dans lequel il est nécessaire d'effectuer le calcul de la fonction r; elle donne, par exemple, les valeurs de cette
SUR LES IXTÉGCALES EL'LERIEXNES. 325
l'onction comprises enire - et i lorsciue l'on connaît les va-
leurs comprises entre o et -•
Remarquons d'abord que l'équation (6) donne sans difficulté la valeur de r ( -|; si en effet on pose pz=qz=-^ on aura par les formules (6) et ( 3), en se rappelant que r(i) = i.
\il \'2 -jj J^ ^^.,1
dx
ou, en changeant x en x^, dx en ^xdx,
d'où
II) r(')r:rvV.
C'est le résultai auquel Lacroix est arrivé par une voie différente au n" 430 (page 79), car, en faisant f= - dans la formule (?.) et écrivant :r' au lieu de x, on a
r ^ M = -2 / e""'' dx= Ç e "^'dx.
Mais la formule (11) n'est qu'un cas parliculicr de celle que nous nous proposons d'obtenir. Si dans la formule (6) on fait </— 1 — p, p étant supposé ici compris entre o et i, il vient, i\ cause de r {i)= i,
et à cause de la formule (4),
dx.
Supposons que p soit une fraction ayant pour dénominateur l'entier n et posons x = z^", il viendra
le produit np étant un entier, la quantité qui multiplie clz sous
le signe / est une fraction rationnelle dont le dénominateur
a un degré supérieur à celui du numérateur; en décomposant cette fraction en fractions simples, il vient
4sni(2«-T-i]/>7rsm
r(,.,r(,,,)= 2 } 1 ÏT^^TV— ^T^r''-
■cos -r. H-sm^
posons
z — cos t:=i:shi — TTtangç, f/z = sm-
2/i 0.11 "' i/i COS-9
ç étant un angle qui croît de
2 ? -f- I T , 2 / -f- I îr
quand z croît de o à i ; l'intégrale relative à z qui figure scus le signe ^ deviendra
4sin(2i+i)j;;7r / c/i^ OU 277(1 j sin(2/H-i )/?7r;
et en écrivant n — i — i au lieu de i, on aura
r(p) r(r — /;) = — - 5] (2« -M)sin(2/-{-i )/>77. 1 =
Cela posé, on connaît la formule qui donne la somme des
cosinus de n arcs en progression arithmétique, savoir :
^ cos ( a -h ih
. nh [ n — i,
sm — cos a -\ li
■ 7~ii
sni -
(voir ma Trigonométrie, p. 22). En faisant li=^-ia, il vient
"ir^ , . , sm 2 na
> C0S(2i + l)rt:^ : ;
'^^ ^ ' 2sm«
formule qui, différentiée par rapport à a, donne
— 2\ ( 2 / + I ) sin ( 2 / + I ) « = 71
cos2«rt sm2/îrtC0s<7
^ sin a
si l'on fait a=: p-n et qu'on observe que "inpir est un multiple entier de la circonférence, on verra que le second membre
de la formule précédente se réduit à -; ; on aura donc
* sinpir
^ ^/ ' V r / sm p~
Telle est la formule qui exprime la deuxième propriété de la fonction r et dont l'équation (m) se tire immédiatement en
faisant p = -•
La démonstration que nous venons de présenter n'exige, comme on le voit, que les principes les plus élémentaires ; elle suppose que p est un nombre commensurable, mais la formule (12) s'étend naturellement à toutes les valeurs réelles et positives de p, à cause de la continuité de la fonction r(p); on voit que cette formule donnera r {p) pour les valeurs de p
comprises entre - et i si l'on connaît celle fonction pour l( s valeurs de p comprises entre o et —
328 XOTE
5. 7'roisi'^nie propriété des fonctions Y. Si l'on suppose 'j=^p, la formule (i) donne
On voit que le coefficient de dx sous le signe / prend des valeurs égales quand x reçoit les valeurs -i- /* et h également distantes de - ; il s'ensuit que dans la formule précé-
<lente en pourra prendre - au lieu de i pcnu' limite supérieure, pourvu qu'on double le résultat. On aura ainsi
Si 1 on fait maintenant x -^ - sjy, ax :^ — j-jz-, les nmites
<le l'intégrale relative à y seront i et o; en renversant ces limites et changeant le signe du résultat, on aura
B c'est-à-dire
iP'P) = ^,fr'i'- rK' dr>
'.:l si en faisant usage de la formule (6) on remplace les B par leurs valeurs en r, puis qu'on se rappelle que r (- j= \t:, il
viendra
Celle équation (i4) exprime la troisième propriété des fonc-
SUR LES liXTÉdKALES ECLERIENNES. 829
lions r ; elle est contenue dans une autre beaucoup plus générale que nous établirons bientôt.
6. Représentation de la fonction \o^T [x) par une intégrale déjinie. Si l'on différentie la formule
J/»oo
et qu'on représente par T'[x) la différentielle de T{x) divisée par dx, il vient
e-^'a^-'logaf/a,
la caractéristique log désignant ici un logarithme népérien. La formule (5), où l'on ."ait p^=i, donne
^ Jo
""■'dz;
si l'on multiplie cette formule par da. et qu'on l'intègre ensuite entre les limites i et a, on aura
log a = / dz ;
en remplaçant log a par cette valeur dans l'expression précédente de r'(^), il vient
T'{x)= / e-^a^-'f/a / ■■ dz;
le second membre de cette formule est une intégrale double; on peut intervertir l'ordre des intégrations et écrire
La première des intégrales qui figurent dans la parenthèse est r(a:); la deuxième a pour valeur, d'après la formule (5),
Lacroix, Cale diff.. II. 22
33o NOTE
; — ^ — --• On a donc
OU, en divisant par r(^), <-/ logr(^)
dx
si l'on multiplie les deux membres par dx et que l'on intègre ensuite entre les limites i et x, il viendra, à cause de logr(i) = logi = o,
logr X = / ^ — 16—-—^ i-^- — ^ — ^ — ^—\ —
^ ' Jo L l0g(l-T-2) J Z
On peut simplifier cette expression de logr(x) en opérant comme il suit : en faisant ^ = 2, il vient, à cause de logr(2) = logi =0,
Jo L l0g(l-f-2)J Z
et si l'on multiplie cette équation par x — i, puis qu'on b retranche ensuite de la précédente, il viendra
,„,r,.,=X"[(.-,„.^.r-!i±^l==li±^]i3^
enfin, si l'on pose log(i + 2}=:a, zz=^e^- — i, l'intégrale relative à a devra être prise entre les mêmes limites o et x , et l'on aura définitivement
r* r , ,^ e-'' — e-'''''\da.
(i5) logr(:r)= [x-i)e—^- ir^" T'
7. Développement de la fonction logr(:r) en série. Si l'on diflerentie l'équation (i5), il vient
SUBI LES IXTÉGRALEG EFLERIENNES. 33 1
Cl en diiférenlianl de nouveau,
d^\ogT{a:) ('^ ,.^-c^x
dx^
remplaçant le facteur -— par sa valeur
il vient
rfMogr(^)
ou, en évaluant chaque terme au moyen de la formule (5), d^ logr(^) I I î I
formule dont le second membre est une série (jui reste convergente, quel que soit x.
Si l'on intègre les différents termes de la formule (17) multipliée par dx entre les limites i et x, on aura
et la série qui figure dans le second membre sera convergente comme celle d'où elle est tirée par l'intégration ;*quant à la quantité — C, elle est évidemment égale à la valeur que
I , , , . , c/logr(^) ,, prend pour ^ = i la dérivée -■, et Ion aura, par 1 e-
quation (16),
cette quantité C est connue sous le nom de constante d'Eulerj nous verrons tout à l'heure comment on peut calculer sa valeur.
XOTE
Si l'on intègre entre les limites i et ^ la formule (i8) multipliée parf/^, il viendra, à cause de log r(i) = o,
1 iogr(a-) = -C(x-0 + (^^-log^)
-log-
log
formule dont le second membre est une série convergente comme celle de la formule (i8). On peut se débarrasser aisément de la constante C; si en effet on pose x ~ i dans la formule ("20), il vient
