IX

o = — c + ( - — log - ) -1- ( - — log -

log-

et si l'on retranche de l'équation (20) le produit de l'équation (21) par X — I, on aura

iogr(^) =

--log-J

3 jc ■

[^i)log-— log—

m-+-i , X -^ m — il

^— I log— log -+-

ou, pour abréger,

(23)logr(:r:=2[(^-^)^°s(/ + ^)-^°§('-^-,'^)]-

Désignons par log (i -4- tn,) la somme des termes qui suivent le m'*"" dans la série (22) ou (28); comme cette série est convergente, la quantité e„ s'annulera par m = zc , et l'on aura

loi

)g r [x] = Ux— i)logy -log^J-i- . . .

(x — ijloi; log + log(i -hsrr.],

SLR LES INTÉGRALES EULERIEXXES. 333

OU, en revenant des logarithmes aux nombres,

, , (1.2.. .m) tn^'^ ( I \ /

x[x-\-\). . .[x -f- m — I J V mj

comme le facteur (n — ) se réduit à i pour m = x , on peut le supposer compris dans i + £,„ et écrire

^ ' x{x -r-i).. .{x + m — i) c'est-à-dire que l'on a

(25) r(^) = Iim— ;— ^ — — ; 1-^ r» pourm = :o.

Remarquons encore que la formule (21) donne pour la constante d'Euler

C = lim ( i-i hôH-- • -1 logm), pour m = 'J0 .

8. Développetnent de la fonction logT{ i -^ x) en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x pour les valeurs de x comprises entre — i et -t-\. Si l'on change x en jc -H I dans la formule (17), il vient

d^\osT{i-^x) I T I

dx" {x-^iy ' [x-\-iy [x-^'ày ' '

et, en différentiant n — 2 fois,

I ^"logr(i-i-.r ) ( — i)" f" I