SUR LA FORMULE DE STIRLING, ETC

Or on a ( voir la Note précédente)

r(p) i.2.3..(p— ij

pour toute valeur de l'entier pi; en outre, comme la quantité© reste comprise entre o et i, l'intégrale^ / &e ''' a'v/a est

positive et inférieure à I e '^"^ a'" ^/a, c'est-à-dire inférieure

Jo , I .2 3. . . 2« , , . ^ 1.2.3... 2/i

a ■> on pourra donc la représenter par 9 ,

en désignant par une quantité comprise entre o et i. D'après cela, la valeur précédente de log «p {x) devient

(.^)iog?W=^--,^-.+...+(-0"-'rA ^ + (-')"^ — ~ — -,-

et, en portant cette valeur dans l'équation ( 7 ), on aura, pour toute valeur positive de x,

i logr (.c + i) = - Io^2:t — x-f- I x-H- J logar

i^L Al i i f ,\"-i " ' / SB a '^»+' L

"^1.2X 3.4x''^'"^ -" (■2n-i)2nx"'-' -^ (•2/H-l)(2H-+-2) ^2" + ' '

la quantité 9 qui multiplie le dernier terme étant, nous devons le redire, toujours comprise entre o et i.

Si l'on prolonge à l'infini la série du second membre, on a la formule de Stirling, savoir :

logr(j:-f-i) =:log2;r — .c-H |x-i-- j log B, I B. I

Mais il est facile de voir que celte série est divergente, quelque grande que soit la valeur attribuée à ^; en effet, la valeur

absolue du terme général ( — 1)"~' ; ^ — est égale,

^ ^ ' [-2.11 — i)in X-"-' ^

d'après la formule (i4)» a« produit des deux quantités

et -^—14--^ +

27T:r 2 77^ "x-KX it:x itl^x\ 2'" 3'" /'

La seconde de ces expressions tend vers la limite

quand n augmente indéfiniment ; la première expression, au contraire, augmente au delà de toute limite, car elle est un produit dont les facteurs inférieurs à i sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux qui sont supérieurs à i , et même à telle quantité que l'ontvoudra, peut devenir plus grand que tout nombre donné. Il résulte de là que les termes de la série (20) croissent, à partir d'un certain rang, au delà de toute limite, et en conséquence cette série est divergente.

8. Mais il est très-remarquable que la série de Stirling, malgré sa divergence, fournisse un procédé très-exact et trèscommode pour calculer logr(x 4-1), et l'approximation que l'on peut obtenir par cette voie est d'autant plus grande que x est plus considérable. Effectivement, si x est supérieur à i, les termes multipliés par les nombres B dans la formule de Stirling vont d'abord en décroissant, el l'on voit par la formule ( 1 9) que l'erreur commise en faisant usage de la formule (20) est toujours moindre en valeur absolue que le premier des termes négligés. On aura donc la plus grande approximation possible en s'arrêtani au terme qui précède le terme minimum, el ce terme minimum lui-même donnera une limite supérieure de l'erreur que l'on aura commise. Par exemple, si l'on néglige complètement, dans la formule (20), les termes multipliés par les coefficients B, l'erreur commise sera positive el inférieure

11 ou a 1 a cause de B, = 7^; on aura donc

i logr(.r +i)>.-log2 7r — x-^{x-^-\ \o%x,

Mogr(x-|-i)<;-log2 7: — ^ -h f:r-h- |log.rou, en revenant d^s logarithmes aux nombres,

En parlant de ces formules, on peut obtenir deux limites du