SUR LA F0R3IULE DE STIRLIXG, ETC

nombre de Bernoulli B„, dont l'une nous sera utile dans ce qui va suivre. En posant, pour abréger,

^ — ' L JL J

on a, par la formule ('4)»

d'où l'on tire

B„+, ( 2 /i -h 1 ) ( 2 /i -f- 2 ) S2,.+2 Bn I . 2 . 3 . . . 2 7i Sin

mais, comme S;,„. décroît quand u. augmente, on a

ou, à cause de B, = -.,

la formule (24) donne une limite supérieure de Ba, on aura une limite inférieure du même nombre en remplaçant S.„ par I, dans son expression exacte ; il vient ainsi

Si l'on remplace Y {in-^\) par sa limite supérieure, tirée des inégalités (22), dans la formule (24), et par sa limite inférieure, dans la formule (25), on aura

I ilïl) ^ -7-

in-\ —

in-i — (2.) -

le rapport de ces deux limites de B„ est — e^î".

Les formules que nous venons d'établir ont été dormées par Cauchy ; elles permettent de déterminer facilement l'approximation avec laquelle on peut calculer logr(;i:-f-i) par la formule de Slirling.

Désignons par «„ la valeur aiisolue du terme de cette série qui dépend du coefficient B„, on aura

" {-m — i)2n a:'"-'' iir, ~ B„ (2/H-i)(2wH-2) x''

la seconde de ces deux formules donne, à cause de l'inégalité (23),

et l'on aura, à plus forte raison,

Un T.-X^ Un \ZX

Donc M„+, sera inférieur à ?<„ tant qu'on aura 7i<| 3a: ou n = 3:r. Ainsi quand x est^i, la série de Stirling est décroissante dans les premiers termes, et si x est un nombre entier, ce décroissement aura certainement lieu jusqu'au terme de rang Zx, lequel sera lui-même plus petit que le terme suivant. Cela posé, désignons par e„ la valeur absolue de l'erreur commise en s'arrétant, dans la série de Stirling, au terme multiplié par B„, on aura, comme on l'a vu,

et, à plus forte raison, à cause de l'inégalité ( 23),

et enfin, à cause de la première des inégalités (26),

6 X \eT.x)

limite qu'il est facile de calculer par logarithmes. Nous avons vu que si x est entier, le décroissement des

SUR LA FORMULE DE STIRLING, ETC. 35r)

termes de notre série a toujours lieu, jusqu'à ce que n soit égal à 3x; si l'on hiiu = 3x, la formule (27) devient

et parce que x est au moins égal à 1, on aura à plus forte raison,

mais on a

^(-] e"^ = 0,393409..., donc •

ou, en prenant les logarithmes vulgaires des deux membres,

( 28 ) log E,. < 7 , 594844 -+- ^ log - + (3 , 394233 1 ) X.

Pour .r = I , on a déjà

log £3 < 4.98907 75

et par conséquent t^ <C 5 pour x = to, on a

Iog£.,o<27,o47i75,

et l'on voit que, dans cet exemple de.r=io, on peut pousser le calcul de log r(.r-t-i) jusqu'à la vingt-sixième décimale, en s'arrêtant au terme multiplié par B30.

La formule (27) montre, comme nous l'avions annoncé, que la formule de Stirling permet de calculer généralement log r(^ + i) avec une approximation qui sera d'autant plus grande que ^ sera plus considérable.