CHAPITRE VI

duile ;i déterminer la racine carrée d’un nombre qui contient deux cbiffres de moins que le nombre proposé. .A cet effet , on sépare par un point les deux premiers chiffres à droite de 4^12 ; la racine 6 du plus grand carré contenu dans 42 est le premier chiffre à gauche de la racine R demandée , qui est par conséquent composée de trois chiffres ; ce qui s’accorde avec la règle du n° 98.

On est ainsi conduit à diviser le nombre donné en tranches de deux chiffres à partir de la droite {la dernière tranche peut n’avoir qu’un seul chiffre); le nombre des tranches indique le nombre des chiffres de la racine carrée du carré proposé.

En opérant comme dans le 1" exemple, on trouve que la racine du plus grand carré contenu dans 4ai2 est 64, et que l’excès, de ^0.1% sur 64 “ est 1 16 ; la racine carrée R de 421201 est donc composée de 64 dixaines, et d’un certain nombre b d’unités moindre que 10.

Le carré 421201 étant formé du carré des 64 dixaines de la racine R, du double de ces dixaines multiplié par le chiffre b des unités, et du carré b des unités, si ou ôte de 421201 le carré des 64 dixaines, le reste 1 1601 contiendra les deux autres parties du carré.

« On parvient plus simplement à ce reste eu observant que l’excès de 4212 sur 64? étant 1 16, l’excè.s de 421201 sur 640’ s’obtient en abaissant la tranche 01 à la droite de 1 16.

Cela posé : le double des 64 dixaines, qui est 128 dixaines, multiplié parles ^unités, donnaut des dixaines, ne peut se trouver que dans les 1 160 dixaines du resté 1 1601 (on sépare par un point le premier chiffre à drpite de 11601) ; ces 1160 dixaines contiennent donc le produit de 128 dixaines parles ^unités de la racine R, plus les dixaines qui peuvent se trouver dans le carré des b unités ; divisant donc 1 160 par 128, les 9 unités du quotient expriment le chiffre b des unités de R ou un chiffre plus grand j mais jamais un chiffre trop faible.

On pourrait essayer le chiffre 9 en retranchant 649“ de 42120,1, le reste zéro indiquerait que 649 est la racine demandée ; mais d’après ce que nous avons fait remarquer dans 1^

ia4 NOTES,

i", exemple, il est plus simple cTecrire le chiffre g à la droite tle 128, double des 64 dixaines de R, et de multiplier 1289 [targ ; le produit est composé du double des 64 dixaines de R multiplié par les 9 unités, et du carré des 9 unités ; re~ tranchant 9 fois 1289 de 1 1601, le reste est égal à 42 1201 — 64g'’; ce reste étant nul, la racine obtenue est exacte.

Lorsque le nombre entier donné n’est pas le carré d’un nombre entier, on opère comme dans les exemples précédées, et on obtient ainsi la racine carrée du plus grand carré contenu dans le nombre donné ; elle exprime la plus petite valeur entière approchée de la racine R demandée.

3' Exemple. Extraire la racine carrée de 42x546.

Si l’on opère comme dans le 2‘ exemple, on trouvera que la racine carrée du plus grand carré contenu dans 42x546 est 64g; le reste correspondant sera 345.

.Le reste 345 exprime l’excès de 42x546 sur le carré 421201 du noinbre 64g obtenu à la racine, car en effectuant les calculs indiqués, on voit aisément que les opérations qui ont conduit à ce reste reviennent à ôter de 421 546 les différentes parties du carré de 64g.

96. En général , dans tout le cours des opérations relatives à l’extraction de la racine carrée , chaque reste est égal au nombre dont on cherche la racine diminué du carré de la partie de la racine déjà obtenue; car les calculs qui conduisent à chaque reste reviennent à ôter successivement du nombre donné, les diverses parties qui composent le carré du nombre ^ entier obtenu à la Vacine.

97. Pour calculer la racine carrée R d’un nombre entier quelconque N, on dispose et on exécute les calculs comme il a été indiqué dans les exemples précédens. On divise N en tranches de deux chiffres à partir de la drdite , en plaçant un point entre deux tranches consécutives quelconques {la 1 '* tranche à gauche peut ne contenir qu’un seul chiffre) ; le nombre des tranches indique combien il jr aura de chiffres dans la partie entière de R.

Pour déterminer le i*' chiffre à gauche de R, on cjhcrchc la