Lorsque la racine carrée d’un nombre entier N tombe

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> NOTES

enire deux nombres entiers consécutifs , cette racine, quoiqu’elle existe , ne saurait être exprimée exactement par xiucun nombre.

En effet : si un nombre pouvait exprimer cette racine , ce nombre serait de'cimal ou fractionnaire; en le convertissant /.en fraction irréductible, le carré de cette frfiction irréductible devrait être égal au nombre entier N ; ce qui ne saurait avoir lieu puisqu’on a démontré (n® 90, 3* Remarque) que ce carré est une fraction irréductible.

11 est facile de concevoir que certaines quantités ne sont pas susceptibles d’étre exprimées exactement en nombres , car une quantité peut croître d’une manière continue, tandis que les nombres ne jouissent pa^ de cette propriété.

Les nombres entiers et décimaux et les fractions ordinaires ayant une commune mesure avec l’unité, on dit que ces quantités sont commensj/raô/ejy et par opposition , les quantités qui n’ont pas de commune mesure avec l’unité sont dites fncommensu râbles .

Par exemple, la racine carrée de 5 est incommensurable , parce que ne pouvant être exprimée exactement par aucun nombre, il en résulte que si l’on conçoit l’unité divisée en autant de parties égales i|u’on voudra, l’une de ces parties ne sera jamais assez petite pour être contenue un nombre exact de fois dans \/ 5 et dans l’unité. On verra ( n° 105) qu’on peut approeber autant /{u’on veut de la valeur de l/ 5, c’est-à-dit'c qu’on peut trouver deux nombres qui comprennent té'S et dont la différence soit aussi petite r[u’on* voudra ; de sorte que 5 soit compris entre les carres de ces deux nombres.

09. Le carré d’une fraction s’obtient en élevant le numérateur et le dénominateur au carré.

Par exemple, le carré de g, indiqué par , «ist 5^5’

ou ! — ~ ou ^ ou — -,

3x5 5- ao ,