COURS

« • £t fi l’on avait faitia mnlUpUcalion à Tordioaire , on aurait eu

. , i3o(> 499^78695 , qui s'accorde avec le précèdent jusqu'à la troisième décî

^ • male , ainsi, qu’on le demande.

' S'il n'y avait pas assez de chiffres décimaux dans le multiplicande « pour

• faire cornspondre le chiffre des onités du multiplicateur au chiffre auquel la

** rèt^le prescrit de le faire correspondre , on y suppléerait en mettant des zért» ’

-, - EXEMPLE

On dQÜ multiplier 54*236

* par 53a, 37 ,

« * et Von yeut avoir le produit a un centième d'unité près.

J'écris;’' 54.236000 ^ •

• *. . produit. ■ ■ ■ ' ■ ■ ■ ■ 28868,20 ten ajoutant une unité an

*.* ’ • dernier, chiffre , parce que les deux que l’on supprime passent 5a .

• ' Poui^troisièmc exemple , supposons qu’on ait à multiplier

. par. . , , ■ . 0,6664178 a

j s*' et 1*(A ne veut avoir que^ décimales au produit, on écrira ^

' ' .* ;V. . lüî

* prodoH. o,ia888ai- , ,• , . > '. * ,

DE mathématiques.

Sur quelques usages de la Multiplication.

56 . Nous ne neus proposons pas de faire connaître tous les usages que l’on peut faire de la mukipHcation , nous en indique- • rons seulement quelques-uns qui mettront sur la voie pour les autres.

La multiplication sert à trouver, en général, la valeur totale de plusieurs unités, lorsqu’on connaît la valeur de chacune. Par exemple : i“ Combien doivent coûter 5842 toises, à raison de 54 "^ la toise ? Il faut multiplier 5 ^* par 584 ^ , ou ( 44 ) 584 a*' par 54 ; on aura 315468*" pour le prix total demandé. 2“ Combien 6964 pieds cubes (i) d’eau pèsent-ils en supposant que le pied cube pèse 721b ? Il faut multiplier 72^ par 5954 <ou 59541 b par 72 : ' on aura 428688 Ib pour le poids de 6964 pieds cubes.

On emploie la multiplication pour convertir les unités d’une certaine espèce en unités d’une espèce plus petite. Par exemple, pour réduire les livres en sous, et ceux-ci en deniers ; les toises en pieds, ceux-ci en pouces , ces derniers en lignes; les jours en heures, celles-ci en minutes ,*ces dernières en secondes. On a souvent besoin de ces sortes de conversions. Nous en donnerons quelques exemples.

Si l’on demande de convertir 8*" 7’' en deniers ; comme

la livre vaut 20-'" , on multipliera les 8* par 20 ( 52 ) ;,|:e qui donnera 160^ auxquels joignant les 17-'', <fc aura 177-^ qu’on multipliera par 12, pai-ce que chaque sou vaut 12 deniers; et^ on aura 2124 deniers, lesquels jointe aux 7 deniers donhent 21 3 1 deniers pour la valeur de 8* 1 7-^ 7*" convertis en deniers.

Si l’on demande combien une année commune , ou 365 'jours 5 heures 48 minutes , ou 365 ^ 5 * 48 - valent de minutes ; comme ^ le jour est de 24 heures , on multipliera 24* par 365 ? et au pro- -î »

(i) Le pied cube e«t une mesure d’un pied de long sur un pied de large et

ti' •»'

sur uà pîcd de haut, avec laquelle ni> évalue la capacité des corps, ainsi ^4» le verra en Oéoin?lrK;. ' * , *

COURS

duit 8760* on ajouterait* ; on multipliera le total 8765 pai- 60 (53) , parce que l’heure contient 60 minutes, et l’on aura SaSgoo minutes ; auxquelles ajoutant 4^ minutes, on^aura 525 g 48 pour le nombre de minutes contenues dans une année commune.

Cette conversion des parties du temps est utile dans quelques opérations du pilotage. y

58 . L’abréviation dont nous avons parlé ( 5 a) peut être em ployee pour réduire promptement en livres un certain nombre de tonneaux. Gomme le tonneau de poids pèse aooo livres, si l’on a, par exemple, 854 tonneaux , il n’y a qu’à doubler 854 , et mettre les trois zéro à la suite du produit; on aura 1708000 pour le nombre de livres que pèsent 854 tonneaux.

. Avant de terminer ce qui regarde la piultiplicatiun , faisons observer aux commençans que ces expressions doubler , tripler, qua^upler, etc. , signifient la même chose que multiplier par 2 , par 3 , par 4 » etc.

De la Division des nombres entiers et des parties ■ décimales.

5 g. Di viser un nombre par un autre , c’est , en général , chercher combien defois le premier de cesdeuxnombrescontient le second, i Le nombre que l’on doit diviser s’appelle dividende , celui par lequel on doit; diviser , diviseur, et celui qui marque combien defois le dividende contientle diviseur s’appelle quotient.

On n’a pas toujours pour but , dans la division , de savoir corn-"bien de fois un nombre en contient uu autre ; mais on fait l’opé-

♦ .ration comme si elle tendait àce but ; c’est pourquoi on peut ,

dans tous les cas , la considérer comme l’opération par laquelle

• on trouve combien de fois le dividende contient le diviseur.

^^^.11 suit ^e là que si l’on multiplie le diviseur par le quotient , * jlyto doit reproduire 'le dividende, puisque c’est prendre ce dwi-

' i ei^ autant de fois qu’il est dans le dividende : cela est général , soit' que le. quotient soit un, nombre. entier , soit qu’il soit un . nombre fractionnab'e. • • • • ' » '

•Digiiizl*:) by Gocçle

DE MATIIÉMÂTIQÜES. 29

Quant à l’espèce des unités du quotient , ce n’est ni par l’espèce de celles du dividende, ni par l’espèce de celles du'diviseur, ni par l’une et l’autre qu’il faut en juger; car le dividende et le diviseur restant les mêmes, le quotient, qui sera aussi toujours le même numériquement, peut être fort, différent pour la nature • de ses unités , selon la question qui donne lieu à cette divisibn.

Par eïemple , s’il est question' de savoir combien 8*" contiennent 4^, le quotient sera un nombre abstrait qui marquera a fois ; mais s’il est question de savoir combien pour 8*^ on fera faire d’ouvrage à raison de 4*^ la to'se , le quotient sera a toises, qui est un nombre concret et dont l’espèce n’a aucun rapport ni avec le dividende ni avec le diviseur.

Mais on voit , en même temps , que la question seule qui , conduit à faire la division dont il s’agit, décide la nature des unités du quotient.

De la Division d’un nombre composé de plusieurs **. chiffres , par un nombre qui nen a qu’un.

60. L'opération que nous allons décrire suppose qu’on saqhc trouver combien de /ois un nombre d’un ou de deux chiffres contient un noinbre d’un seul chiffre. C’est une connaissance déjà acquise , quand on sait de mémoire les produits des nombres qui n’ont qu’un chiffre. On peut aussi, pour y parvenir, faire usage de la table que nous avons donnée ci-dessus (48). Par exemple , si je veux savoir combien de fois j 4 contient 9 , je cherche le dinseur g dans la bande supérieure, et je descends verticalement jusqu’à ce que je rencontre lé nombre le plus approchant de 74 ! c’est.ici ,72 alors le nombre 8 qui se trouve vis-à-vis 7a dans la première colonne , est le nombre de fois, ou le quotient que je cherche. ..

Cela supposé , voici comment se fait la division d’hn nombre * qui a plusieurs chiffres, par un nombre qui n’en a qu’un.

Ecrivez le diviseur à c6té du dividende; séparez l’un de l’autre par un trait . et soulignez le diviseur sous lequel vous écrirez les chiffres du quotient , à mesure que vous les trouverez.

:,o COURS

Prenez le premier chiflre sur la gauche du dividende , ou les deux premiers chiffres , si le premier ne contient pas le diviseur.

Cherchez combien de fois ce premier on ces deux premiers chiffres contiennent le diviseur, écrivei ce nombre de fois sons le diviseur.

Multipliez le diviseur par le quotient que vous venez d’éciire, et portez le produit sous la partie, du dividende que vous venez d’employer. ^

Enfin , retranchez le produit de la partie supérieure du dividende à laquelle il répond , et vous aurez un reste.

, A côté de ce reste abaissez le chiffre suivant du dividende principal , et vous aurez un second^ dividende partiel , sur lequel vous opérerez comme sur le premier ; plaçant le quotient à droite de celui qu’on a déjà trouvé ; multipliant de même le diviseur par ce' quotient , écrivant et retranchant le produit comme ci-devant. •

*. Vous abaisserez de même , à côté du reste de cette division , le chiffre du dividende qui suit celui que vous avez descendu , et vous continuerez toujours de la même manière jusqu’au dernier inclusivement. ^

Cette règle va être éclaircie par l’exemple suivant t

, EXEMPLE

On propose de diviser 8769 par 7.

J’éciis ces deux nombres comme on les voit ci-après : ' ,

.dividende

7 diviseur

1252 - quotient

lÉL *

DE mathématiques. 3 i •

Et commençant par la gauche du dividende , je devrais dire , en 8 mille combien de fois 7 ; mais je dis simplement en S combien de fois 7 ? Il y est une fois. Ce i est naturellement mille ; mais les chilfres qui viendront après lui donneront sa véritable valeur; c’est pourquoi j’écris seulement 1 sous le diviseur. • Je multiplie le diviseur 7 par le quotient i , et je porte le produit 7 sous la^partie 8 que je viens de diviser; faisant la- - ^ soustraction, j’ai pour reste i.

Ce reste i est la partie de 8 qui n’a pas été divisée , et est une dixainc ài l'égard du chiffre suivant 7 ; c’est pourquoi j’abaisse ce méme^chilfre 7 à côté, et je continue l’opération , en disant, en 17'combien^de fois 7 ? a fois. J’écris ce a à la droite du premier quotient 1 qu’a donné la première opération,

Je multiplie, comme dans la première opération, le divi seur 7- par le quotiâit a que je viens de trouver ; je porte le produit i4 sous mon dividende partiel 17, et faisant la soustraction , il me reste 3 pour la partie qui n’a pas pu être divisée.

A côté de ce reste 3 , j’abaisse 6, troisième chiffre du dividende, et je dis, en 36 .’tombien de fois 7? 5 fois. J’écris 5 au quotient.

Je multiplie le diviseur 7 par 5 ; et ayant écrit le produit 35 sous mon nouveau dividende partiel , je l’en' retranche , et il me reste 1.

Enfin , à côté de ce reste i, j’abaisse le chiffre g du dividende, et je dis , en 19 combien de fois 7 ? a fois. J’écris a au quotient Je multiplie le diviseur 7 par ce nouveau quotient a, 'et , ayant écrit le produit* i4 sous mon dernier dividende par-' . tiel 19, j’ai pour reste 5 . * •

Je trouve donc que 8769 contiennent 7 autant de fois que le marque le quotient que nous avons écrit , c’est-à-dire »a 5 a ' fois, et qu’il reste 5 .

A l’égard de ce qui reste, nous nous contenterons , pour le* présent, de dire qu’on l’écrit à côté du quotient, comme j>n le voit dans cet exemple, c’est-à-dire en écrivant le diviseur, au-dessous <lc ce reste , et séparât l’un de l’autre par un trait ,

3î COURS

et alors on prononce cinq septièmes. Nous expliquerons par la suite la nature de ces sortes de nombres.

6i. Si, dans la suite de l’opération, quelqu’un des dividendes partiels se trouvait ne pas contenir le diviseur , on écrira zéro au quotient , en omettant la multiplication , on abaisserait tout de suite un autre chiffre à côté de ce dividende partiel , et on continuerait la division.

EXEMPLE

II s’agit de diviser i44^4 P®*' 8-

8 iëo8

Je prends ici les deux premiers chiffres du dividende , pai-ce que le premier ne contient pas le diviseur.

Je trouve que i4 contient 8 une fois ; j’écris i au quotient : je multiplie 8 par i , et je retranche le produit 8 de i4 , ce qui me donne pour reste 6 , à côté duquel j’abaisse le troisième chiffre 4 du dividende. '

Je continue en disant : en 64 combien de fois 8 ? huit fois ; j’écris 8 au quotient; en faisant la multiplication, j’ai pour, prdduit 64 que je retranche du dividende partiel 64, il me ^resteoàcôté duquel j’abaisse 6, quatrième chiffre du dividende ; et comme 6 ne contient pas S , j'écris o au quotient , et i’abaisse tout de suite à côté de 6 le dernier chiffre du dividende qui est ici 4 1 pour dire en 64 combien de fois 8 ? Il y est 8,fois : après avoir écrit 8 au quotient, je fais la multiplicar tion ,*et je retranche le pro'duit 64; et comme il ne reste rien , j’en conclus que i44^4 contiennent 8 fois uSo8.

De la Diy^ion f^r un nombre de plusieurs chtfffes ,

62. Lorsque le diviseur' aura plusieurs, chiffiés ,,on se con- • duira de la manière suivante •' < • ,

Prenez sur la gauche du dividende autant de chiffres qu’il est • necessaire pour contenir le diviseur, , . ■ *

Cela posé , au lieu de chercher , comme ci-devant , combien ^ la'partie du dividende que vous avez prise , contient votre diviseur entier , cherchez seulement combien de fois le premier chiffre de votre diviseur est compris /lans le premier chiffre de votre dividende, ou dans les deux premiers, si le premier ne suffit pas ; marquez ce quotient sous le disiseur , comme ci- (lêvant. - * ^ *

Multipliez successivement, selon la règle donnée ( 5 o) , tous, les chiffres de votre diviseur par ce quotient, et portez à me- * ' ^ sure les chiffres du produit sous les ^chiffres cotrespondans de « votre dividende partiel.'^Faites' la soustraction, et à côté du reste abaissez le chiffre suivant d^u dividende ^ pour coptinuer l’opération de la même manière. ■* * . * , » * .

Nous allons éclaircir ceci par quelques exemples ,.el; prevenr; en même temps les cas qui peuvent causer quelque embarras. ^ *

EXEMPH-n # * 4T ’

On propose de diviser 75347 pl ^53