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Dkj'" :ed by Coogic
34 ^ ■ GOUliS
Je prends aeulemeut les deux premiers chiffres du dividende ,
parce qu’ils contiennent le diviseur , et au lieu de dire en ^5 combien de fois 53 , je cherche seulement combien les sep{
' dixaines.de ^5 contiennent les cinq dixaines de 53 , c’est-à * dire combien 7 contient 5 : je trouve une fois, et j’écris i au quotient.
♦ Je multiplie 53 par 1 , et je porte le jiroduit 53 sous 75 : la soustraction faite, il reste 33, à côté duquel j’abaisse le chiffre 3 *du dividende, et je poursuis, en disant pour plus de facilité:
' »en 23 combien ”de fois 5 ?-( au lieu de dire : en 223 combien de ^fois ) i je trouve 4 fois , j’écrjs 4 ‘lu quotient, ^ *
Je multiplie successivement par 4 les deux chiffres du dfviseur , et je porte le prodjiit 21 2 sous mon dividende partiel 22^ , la soustraction faite, j’ai pour reste 11*; j’abaisse à côté dc^
* * ce reste^ le chilB’e 4 di\ dividende , et je dis simplement comme » ci-dessus , en 1 1 combien de fois 5 7 3 fois ; j’écris 2 au quo-
. tient, et je multiplie . 53 par 2, ce^qui me donne 106 que^ j’écris sous le dividende partiel 1 14 ; faisant la soustraction ,
« j’ai pour reste 8 , à^té duquel j’abaisse le dernier chiffre 7 ;
je di^sc de n;én^e 87 ;ct, continuant conime.ci-dessus, je tiouve • J pour quotient , et 34 pour reste , que j’écris à côté du quode la manière qui a été indiquée plus haut (60)/ ^ ^
63 . On devrait , à la rigueur, chercher combien de fois chaque/ é dividende partiet contient le diviseur entier ; mais cette rec|j“"*^ che serait Auvent longue et pénible; on se contente, oomn vient de le voir, déchefcher combien la partie la plus foc . .^e ’dividrade contient la partie la plus forte du divise * quotient qu’on trouve par cette voie n’est pas toujours le \0 table; parce qu’en prenant ce parti, on ne fait réellement qu’une estimation approchéeff&ais, outre que cette estimation met presque toujoui's sjtt et que , dans les cas où elle h*y met
pas , elle $’^nië%.te wn'JjàmultipUc qui vient ensuite seèt
“à redresser c^qu-il.peÉ^y ,âvoir..;de défectueux dUdejuge? ^iyinhnt En e<^^si"|ie doroende partîâ coritefeiysfofetheitt. le ■'. diviseur 3 fois^par^xemple, et que jl^i%ssâ 01^
^ îeit trouve aujh|&codtient-4 fois , il est facile de vfi ' “ '
s . J ^ ~ iTâ#
sant ta multiplication pai'4> on aurait un produit plus grand que le dividende, puisqu’on prendrait lê divi^r plusse foisi qu’il n’est réellement dans ce dividende, et par conséfjuffnt la soustraction deviendra impossible; alors on diminuera le qiio-. tient successivement d’une , deux , etc. , unités , jd^n’à 'ce qu’on trouve un produit qu’on puisse retrancher ; au contraire ^ si l’on n’avait mis que a au quotient, le reste de la soustrac- ‘ tion se trouverait plus grand que le diviseur ; ce qui prouverait que le diviseur y est encore contenu, et par conséqueii • le quotient est trop faible.
Au reste , on acquiert en peu de temf^l’usage de prévqiq de combien on doit diminuer ou augmenter le' quotient que donne la première épreuve.
[iroposc de diviser i8p49^ P®**
Je prends les quatre premiers chiffres du dividende, parce que les trois premiers ne contiennent pas le diviseur.
Je dis ensuite', en i3 seulement combien de fois 3 7 il y est réellement 6 fois; mais en multipliant 3’]5 par G, j’aurais plus que mon dividende 1894; ^est pourquoi j’écris seulement 5 au quotient. Je multiplie SjSpar 5 ; et après avoir écrit le produit ^ sous 189 j, je fais la soustraction, et j’ai pour reste 19. ^
J’abaisse à côté de 19 le chiffre 9 du dividende ; et comme 1 99 que j’ai alors ne contient pas 'i‘j 5 , je pose o au quotient , et j’abaisse à côté de 199 le chiffre 1 du dividende, ce qui me donne 1992 puurjequcl je dis, en 19 seulement combien de fois 36 fois. Mais par la même raison cpie ci dessus , je n’écris au quotient que 5 ; et après avoir opéré comme cidevant . j’ai pour reste 1 17. - •
IIK ]\lATIiK,\lATlQlJES.
EXBMt'I.E.
On \eut diviser 756984 par 98a. ,
5090^ par 9aa.
Après avoir pris les quatre premiers çludVes du dividende* ' qui sont nécessaires pour contenir le diviseur, je trouve qne'' 75 " contient 9 , 8 fois ; c’est pourquoi j’écris 8 au quof ien{ , ef'au, lieu lie porter sous 7569 , le produit de gSapar 8 , je multiplie d’abord 2 par 8 , ce qui me donne >6 ; mais comme je ne puis^ I ôter 16 de 9 .j’emprunte sur le chiffre suivant 6 , Ünê dixainc , qui , jointe à 9 , me donne 19 , desquels ôtant »6 ,^1 mej’estc ^3 , ^
ipic j’écris au-dessous. 4
Pour tenir compte de cette dixaine empruntée , au lieu de diminuer d’une unité le chiffre 6 sur lequel j’ai emprunté , je * *
I etiens cette unité que je vais ajouter au produit suivant ; ainsi * continuant la multiplication , je dis 8 fois 3 font 24 1 et 1 que '* j’ai retenu font 25 "; comme je ne puis ôter 25 de 6 , j’emprunte .* sur le chiffre suivant : 5 du dividende’, deux dixaincs qui * , jointes à 6 , me donnent' 26 , 'desquels j’ôte' 25 , et il me reste 1 que j’écris sous 6 ; par là j’ai terni compte dftla première^alixaine ‘ • dont j’aurabdàdiminuer 6 , parce quej.’airetrauché une dixaine ' de plus. Je tiendrai , de même , compte des dciA dixaiœs que je viens d’emprunter. Je continue donc en disant :8 fois ÿ’ { l'ont 72 , et 2 que j’ai empruntés font 74 . lesquels ôtés de '] 5 , il r.estc 1. ^ ,
ItJ’abaisse à côté du reste 1 13 le chiffre 8 du dividende «et je continue de lu même inanicTC , en disant : en i\ combien de fols ' ^ 9 ? I fois ; puis une fois 2 fait 2 , qui ôtés de 8 il l'cste 6 } une fois 3 fait 3 , qbi ôtes de 3 il reste o ; une fois 9 est 9 , qui ôtés^ * •de i^, W reste 2. J’abaisse le chiffre 4 à côté du reste 206 , et je dis en 20 combien de fois 9 ? 2 fois ; et faisant la multiplication ,*
J fois 2 font^ , qui ôtés de 4 . >1 reste o } 2 fgjs 3 font 6 , qui *
' * • Cigi; ...J by Guügle
’ . 38 • COURS
‘ ''■*ôlôs de 6 reste o ; et enfin a fdis ç) font 1 8 , qui ytos de 20 , il • reste 2. * .
, 66. Il peut arriver dans le cours de ces divisions partielles ,
, que le dividende contienne le diviseur plus^de g fois ; cependant nn ncdoit jamais mettre plus de g au quotient; car si l’on pou- . * vait seulement mettre 10, ce serait une preuve que le quotient trouvé par l’opération précédente serait faux , puisque la dixaine * Itpi’on trouverait dans le quotient actuel , appartiendrait à ce , * premier quotient. '
. « 6 ^*S\le dividende et le diviseur étaient suivis de zéro, on pourr.xit en ôter à l’un et à l’autre autant qu’il y en a à la suUe , ^le celui qui en a le moins. Par exemple , pour diviser 8000 par 4oo , je diviserai seulement 80 pai- 4 ; car il est évident que 80 ^ “centainesne contiennent pas plus 4 centaines, que 80 unités iie * gpnticnnent 4 unités.
* “ * De la^ Division des parties décimales.
* 68. Pour ne point nous arrêter à des distinctions superfluet , ^ nous réduirohs l’opér^on de la division des décimales à cette
rède seule. * •*'
Mettez à la suite de celui des deux nombres proposés, qui a ^ le moins de décima^, un nombre de zéro suffisant pour que . le iiombi-e des décimales soit le même dans chacun ; 'cela ne cl)an:;cra rien à la valeur de ce nombre (3o) ; supprimez la vir- • ^lè dans l’un et dans l’autre , et faites l’opération comme pour les nombres entiers ; il n’y aura rien à changer au quotient que
vous trouverez. '
■* exemple. - *
'**' On jjropose de diviser 12,62 par 4 , 3 , «
' J’écris 12,62 I 4<3 «
^ *t)u plutôt 12,62
en complétant le nombre dcs,(hêcimalcs.
* Supprimant la virgule , j’ai l’opération
1 262 à diviser par 43o » faisanP
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vP'S'-
DE MATIIE.^ATIQUES.
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Sfc- •«**>
' Je trouve a pour quotient , etSga pour reste, c’esl -à-dire que-
I t’ ■ 3oa »u -■ * ' • • * .
le quotient est a et -rf-.
Mais comme l’objet qu^on serproptose , ^uand pn se sert <de
décimales , est d’éviter les fractions ordinaii-es , au^eu .diécrirg leceste 3pa sous la forme de fraction , comiue on vient d^|g. faire , on continuera Topération comme dans^ l’exemple suivant.
EXEMPLE
ia5a
‘ Sqa'o ‘ . *• ■ . '
» ' a'joo . .
• • “ ; 120 • . ‘ Apres avoir trouvé le quotient en enlier, qui est ici a, on mettra k côté du reste 3ga, unzéro qui à la vérité, rendi'a. ce reste dix fois trop grand ; on continuera de diviser par 43o , et-ayant trouvé quil faudrait mettre g au quotient, ou l’y inçttra en effet, mab après avoir marqué la place des unités entières , en mettant une virgule 'a près le a ; pai- ce moyejQ^ le ^ ne marquera plus que des dixièmes : après la multiplication . • , et la soustraction faites , on mettra à côté du reste 5o lin zéro , . cctqui est la même chose que si l'on en avait mb d’abord deux , ^ côté du dividende ; mais en mettant après le g le quotient i ^qtl^ trouvera , on lui donnera par là sa véritable valeur, piiisqu’alors il marque des centièmes ; on continuera ainsi tant qu’on ^ le jugera nécessaire. En s’en tenant à deux décimales , on la la
fv
4o , , COURS
une unité de plus uu de moins , sans rendre le quotient trop fort ou trop faible. * . »
, Tons les restes de division peuvent être réduits ainsi en déci- •males. ,
Il reste à expliquer pourquoila suppression de la virgule dans le dividende et dans le diviseur ne change rien au quotient , lorsqu’on a rendu le nombre ^des décimales le même dans chacun de ces deux noiubres : c^st ce qu’il est aise d’apercevoir, parce que dans l’exempfe ci-dessus le dividende la.Ss et le diviseur 4>^o né sont autré chose que ta5a centièmes et 43o centièmes , puisque les unùés'entières valent des centaines de centièmes ( 22 ) ; il est clair que laSa centièmes ne contiennent pas autrement
• 439 . centièmes , que 1 2 S 2 unités ne contiennent 43o unités ; donc Iq, considération de la virgule est inutile quand on a complété
*fe nombre des décimales. • • i
* * 69.* Lorsqu'on n't besoin de conneitre le quotîehl d'une dîvtûon que Ju^ qu '4 uÿ degré d' exactitude proposé , on peut abréger le calcul par ta méthode suivante. Noué sepposeron» d'abord qu'on n'a beaoio de connaître ce quo* lien^. qu'à une unité prêt ; nous feront voir entuÿe comment on doit appliquer
* la méthode* pour l'avoir au 4 i près qu'on voudra : voiqila règle. '
Supprime* tur la droite du dividende , autant de ébllîrea , moint un , qu il ^ en a dans lé diviseur : faite* ensuite la*di^sion comme a Tordinaire : s’il n'y
* a point de raste , voua mettrez à la suite du quotient autant de zéro que vous •
avez supprimé de uiiilfret dans le dividende. Mais s'il y a un reste , voua continuerez dedUriser^ non pai par le même diviseur qu'auparavant , ce qui n'est* plus possible, mais par et diviseur dont vous aurez supprimé le dernier chiffre de b droite t après cette division , vous diviserez le nouveau reste par le. diviseur précédent , dont vous supprimez le dernier chiffre sur 1a droite ; et vous ' continuerez ainsi de divber , en supprimant à chaque ^vision un chiffre sur 1a droite du diviseur. • ^
• axesèfi.s. t> ^ w i
On«veul &avoÿ. à moins ffuoe unité prè-’^* le quotient de 8789^364^ divisé
par G 44 ‘^ 3 . Je supprime les quatre premiers chiures de 1 ^ droite divi^nde, ^
je. divise 87^^ par le diviseur proposé 644'-^'^ e
et 87893a 1 644^3 *
J9fi..64
■‘.Çjgitifeê '
Je trouve J'abori) i 3 pour quotient, et 4 ^ 4^4 pour reste : je divkc donc 4 l 4*<<4 pAi'^ 44 ^* lupprimant le dernier cliiiFre 3 do diviseur: j'ai 4>our quotient 6 que J'écris a la suite du premier quotient 19; et le reste est 2779. .que je divise par 644» supprimant encore un chififre sur la droite du . diviseur primitif: j'ai pour quotient 4« q^^ j'écris à la suite dn quotient principal i 36 t le reste est 196 que je divise par 64 , en supprimant encore un chiffre dans te diviseur : te quotient est 3 , ‘Ct le reste 4 * divise
par 6 , et j'ai o pbur qnotient ; en’sorte que le quotient de 8789236487 dii^s par 64423 • est i 3643 o , à moins d'une unité près. En c-fTet , le quotient exact
Il n'est pas indispensable d'écrire à chaque fois comme nous l'avons fait le nouveau diviseur ; on peut se contenter de barrer, dans le diviseur primitil, chaque éKîifre à mesure qu'on passe 4 une nouvelle division : ce n'a été quepour rendre fopération plus sendble, 'que nous avons écrit ces diviseurs à ' coté des restes successifs. ^ ^
72. Si le reste de la première division se trouvait phis petit que* n'^t le * diviseur après qu'on en a supprimé le dernier chiffre , on mettrait zéro au * quotient ; et s'ifse trouvait encore plus petit que ne serait ce diviseur, après qu on en a encore ôté le dernier dçs chiffres restans , on mettrait encore un zéro au quotient , et ainsi de suite, i.,- .
Pour avoir , à moins d’une imité près , le quotient de 55 106064 divisé par ^ 643* je divise, comme A l'ordinaire, la partie 53 io 6 a qui reste après la iup>
pression des deux dernier! chiffres du dividende proposé *
^ . w I * 55 io 6 o I ^3 ' * , .
. M'ai pour quolicol 85 j , cl 9 p<^ re»tc : il faut donc diviser ce resll par 64 seulement; comme 9 ne contient pas ce diviseur, je metio an quotient, et j’ai
• encore pour reste 9 , qne Je divise par 6 seulement , en sorte que le quotient
, cherché est 88701 , à moûts Vl'une imité près. ^ 1
•s ,71. Si lor,qu'au,commeocement de l'opération on supprime sur.la droite ^ du dividende Ica cliilfres que la règle prescrit dé supptimer, il se trouve que
• les ehifTres restans ne contiennent pas le div Ueur,*on snpni iracra tout de suite.
COURS
On veut arolr, i molna d’une nnitéprèt , le quotient de i6i 15*17 divîeé par
Je supprime let quatre chiffres 15^7 delà droite du dividende. Mais comme ^ les chiiTt'cs restant 161 ne peQvent pas être divisés par 6^5'à^ « je supprime» dans ce diviseur, les trois derniers chiffrea 5^4 qui doiventétre supprimés pour que ce diviseur soit contenu dans le dividende resUnt i 6 x t ainsi je divise 161 par 64 1 en opérant cWme dans rezemple précédent ,
et j'ai aS pour le quotient de iGiiSaq divU^par 643a4 > à luoüu d'une unité
6aç)5i
prêt : en effet , le quotient exact ett a4 — — * qui est beaucoup plut prêt de a5 4 &j5a4
que de a 4 . ^
^a. A mequse qu'on supprime un chiffre daiu le diviseur, 4 convient, pour plus d'exactitude, d'augmonter d'une unité le dernier de ceux qui restent, si celui qu'on supprime est lu-dettut de 5 ou égal à 5. On augmentera , de même , d'une unité, 1c dernier des chiffres qui restent dans le, dividende, après la suppression que la règle prescrit , si ceux-ci sdrpassent ou 5 , ou 5o , ou 5oo , selon qu'il en a i , ou a , ou 5 , etc.
On veut avoir, à moins d'une unité prés , le quotient de SGSqCa^ dlvisu a* par 1987 . • * .1 » mt- . ,
Je divise donc 8658 par 1987 , comitte Usait: ,
ii3 ....a^
i3.ii. a'
». « en *>' •••• - ^ »
c >:sl-à.dire qu'au lieu de diviser le reste 710 par 198 seulen^ut , je le divise par 199 , parce que le dernier chiffre 7 , que je sqfqjrime , est au-dessus de 5. ‘Même raison pour la division suivante. Mais coipme le dernier diviseur qui
est contenu G fois - dans |3, est M peu trop fort, je mets 7 au quotient.
•- 73 . Wainletianl il est facile de voir ce qu'il y a à faire , lorsqu’on vrtî**
quolicbl bciiicoiip .plus cxaetcincnl . l’ar exemple, si l'on voulait » ” •
t • . .. ' V • ' "vv
-.1 . . » ... “v V.- .4 V- , H» . 'Tt V*. •
i . •'*.,** ^ • t- *• .*1. •* .. * Av
^ • in"* a • ■
; "t jk.- >.
•voir le quotient à un dix-millieme d'unité préi , la qneitlon ae réduirait é mettre autant de aéro ( ici ce aérait quatre ) à la suite du dividende , qu'on vent avoir de décimales au quotient ; après quoi on'fera fà division selon la méthode actuelle. Et iorsqu'on anra trouvé le quotient , à moins d'une unité prés , on en séparera sur la droite , par une virale , autant de chilTres qu'on voulait avoir de décimales. .. . ^
* ^ BXeMPt,E. ^
On vent avoir, à moins d'un dix-millième d'unité près , le quotient de 69^7 divisé par 453 o ; je mets quatre xéro A la suite de 6927 , et la question- se réduit à avoir, à moins (Tune unité près , le quotient de 69270000 divisé par 453 a , c'est-à-dire conformément à la règle ci-dessns , à diviser 69270 par 453. , comme il suit . ^
^le quotient cherché est done^l, 5 a 85 , à moins- d'un dix-millième d'unité près. ' , ' \
S'il y avait des décimales dans le dividende, on dans le dKiseur , ou dans tous les deux , on les ramènerait d'abord à n'en point avoir, selon ce qui a été dit (68) ; après quoi on opérerait comme dans ce dernier exemple.
Donc si l'on voulait réduire une fraction proposée , en décimales ,on y parviendrait promptement par cette méthode, ajrant égardsa ce'qui a été dit(7l). ' .
Ainsi , si l'on veut réduire 3 en décimalea , et en avoir la valeur a •
, j, 9698 , ar .
V moins d'un millième d'unité près , oa aura 4253ooo à diviser par 4)678 t ce qui (69) se réduira à diviser 4*53 par 9678 , et (71 et 72) à diviser 4 's 53 par 968, selon la méthode actaelle. On trouvera donc 4 ^ 9 1 en sorte i^u'on aura •
V 4j53 ... T* s», ^ • Ta '
0,439 pour la valeur de 3 -— t à moins sTun millième près. "
Il pourrait néanmoins arriver que le quotient trouvé d'après ces règles fût fautif de 1 , 2 , on 3 nnitéssjdans le dernier chiffra. Qqioique ce cas doive se ‘ rencontrer Irèa-rarement, il n'est pas inutile de fa^ observer qu'on peut tou- , jours le prévenir facilement , en 'né séparant , au commencement de l'oj^ra-^* tion , sur la droite du dividende, qu'autant de chiffres Aoins deux qu'il y üa
8 dans le^Élvifenr, en opérant du reste comme ci-dessus. Lorsque le quotient sera trouvé , on eo supprimera le dernier chiffre , en observant d'ajouiçr^ne ^ ^ Anité au dernier de ceux qui -.resteront, celui qu’on supprime esjt plu* grand** #,
■ quc¥. -, - • , ‘ ^ a •
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