CHAPITRE VI. i

premier, les quotieus sont. plus grands que les diviseurs coirespondans , ces diviseurs sont ne'cessairement moindres que V/ N , on continue les essais jusqu’à ce qu’on parvienne à un diviseur qui donne un quotient fractionnaire moindre que le diviseur; ou est alors certain que le diviseur qu’on essaie est plus grand que l/M; et par conséquent, si aucune des divisions précédentes n’a fourni un quotient exact , on pourra en conclure que N u’est divisible par aucun des nombres premiers qui n’excèdent pas l/K; le nombre N sera donc premier, t

Ainsi, dans l’exemple précédent, pour reconnaître si ii3 est un nombre premier, on divise successivement 1 13 par chacun des nombres premiers

ce qui fournit les quotients fractionnaires 56 37 I, 22, 1 i6 f, 10

Les diviseurs 2, 3; 5, 7, donnant des quotiens plus grands que ces diviseurs, sont nécessairement moindres que V' 1 13 ; mais la division de 1 13 par 1 1 donnant un quotient fractionnaire plus grand que i g , on est certain que 1 1 est plus grand que V^ii3, et que' ii3 n’est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5, 7, qui n’excèdent pas

1 13 ; 1 13 est doue un nombre premier. ^ j

Ce qui précède fournira le moyen de simplifier les méthodes qui ont été données dans les 11“* 88 et 37, pour trouver les nombres premiers et pour décomposer un nombre en ses fac~ leurs premiers.

§ 3. Des cubes et de la racine cubique.

108. Le produit de trois facteurs égaux à un nombre donné, est la troisième puissance ou le cube de ce nombre.

Ainsi , le cube de 7, indiqué par 7^ , est le produit. 343 de trois nombres égaux à 7.

t 34 NOTES,

406 . Le nombre qui , pris trois fois comme facteur, détermine un nombre donné , est la racine troisième ou la racike OUBIQCE du nombre donné.

Ainsi , la racine cubique de 343 , indiquée par {/ 343 , est 7, car 7 X 7 X V = 343.

407 . Les cubes des nonabres 1 , 10, lôo , 1000, etc. , étant I, 1000, 1000000, looooooooo, etc., les nombres compris entre i et 1000, entre 1000 et 1000000, entre 1000000 et looooooooo, etc. , ont leurs racines cubiques comprises entre I et 10 , entre met 100, entre 100 et 1000, etc.

Par conséquent : lorsqw’un nombre entier n’a pas plus de trois chiffres, la partie- entière de sa racine cubique n’a qu’un seul chiffre; lorsqu’un nombre a 4 > 5 ou 6 chiffres, la partie entière de sa racine cubique a deux chiffres; lorsqu’un nombre a 7 , 8 ou c) chiffres, la partie entière de sa racine cubique a trois chiffres ; et ainsi de suite.

108 . Les cubes des nombres d’un seul chiffre étant moindres que 10’ ou que 1000 , on revient de ces cubes à leurs racines cubiques en faisant usage du tableau suivant :

Racinet cubiques, i, 2, * 3 , 4 > 6, 7, 8, 9, 10.

Cubes, I, 8 , 1;, 64, ia 5 , ai 6 , 343 , 5 ia, 729, 1000.

Ce tableau peut aussi servir à déterminer la racine cubique du plus grand cube contenu dans un nombre moindre que 1 000.

Par exemple , pour trouver la racine cubique du plus grand cube contenu dans 23 q , on cherche dans la seconde ligne du tableau les deux cubes consécutifs qui comprennent 23 g j on voit que 23 g tombe entre les cubes 216 , 343 , des nombres 6 et 7 ; la racine cubique de 23 g tombe donc entre 6 et 7 ; on dit par cette raison que le plus grand cube contenu dans 23 g est 216 , et que la racine cubique du plus grand cube contenu <lans 23 g est 6. La partie entière, ou la plus petite valeur entière approchée de la racine cubique de 23 g, est 6. ♦ ;■

109 . Pour extraire la racine cubique d’un nombre entier plus grand que looo , nous chercherons d’abord coinment les

CHAPrfRE VI.

parties de la racine entrent dans le cu^e. A cet effet , nous concevrons la racine décomposée en dixaines et en unités. Or on a vu (n° 94 ) que le carré d’un nombre composé de dixaines et d’unités contient trois parties, savoir : le carré desdixaines , le double des dixaines multiplié par les unités, et le carré des unités. Pour en déduire le cube du meme nombre, il suffit de multiplier ce carré par le nombre proposé. Si l’on multiplie séparément les trois parties du carré parles dixaines et par les unités du uonibre donné -, et si l’on réunit ceux des produits partiels qui sont égaux entre eux , [on verra que le culte {f un nombre composé de dixaines et tT unités contient quatre parties J savoir : le cube des dixaines , le produit de trois fois le carré des dixaines par les unités, le produit de trois fois les dixaines par le carré des unités , et le cube des unités (*). Ces quatre parties expriment respectivement des mille, des centaines , des dixaines et des unités.

(*) L’emploi des conduit plus fiiaiplcmcnt h la zndnic

propriété. En effet , concevons qu’un nombre soit décompose en deux parties quelconques éi, 4*; ou obtiendra le carre de O’-hh en formant le produit de a-hl> par<ï .-f-^j ce qui revient à multiplier successivement les deux parties < 1 , 6, (hi multiplicande par les. deux parties a, bf du multiplicateur, et h faire la somme des quatre produits. On trouve ainsi que ie carre de a-^b est nxa^ b Xu^^axb-\-hx b.

Or, = hxb — h'f bxazzzaxb (n«

Le carre de r? + ^ est doue a* H- aoZ»

On peut en dtfduirc la règle du n® 94, en considérant a comme lesdixaincs d’un nombre et b comme ses unités.

Enfin , pour obtenir le cube de iz-hb, on multiplie le carré de o -b & par rt ce qui revient à mnlliplier successivement les parties aui, i*,'du carré de parles parties <7, ^ , du nombre « 4- On trouve de celte

maiiicrc que le cube de a -f* i, est

a* X n -h^itb X a b* X a ^ a* x b ntb xb-^b' X h.

Or, a*Xa'=in^j 'îrtA x = •iah X h-=z-2nbh^iah'^ ^ =

* &>X*r=frî.

Le cube de n -f- A se réduit donc h

On en déilnit la règle indiquée. \

NOtBS,

Ainsi, le cube de ^ est composé : du oube..2i6 mille des 6 dixaines de 64 , de 3 fois le carré 36 centaines des 6 dixaines multiplié par les 4 unités ou de 43a centaines’, de 3 fois les 6 dixaines multipliées par le carré des [\ unités ou de 288 dixaines, et enfin du cube 64 des 4 unités. Lti somme 262144 ces quatre parties , exprime le cube de 64-

Pour obtenir le cube de 64g , on décompose ce nombre en 64 dixaines plus 9 unités, et le cube demandé est formé du cube 262144 mille des 64 dixaines de 649, de 3 fois le carré 4096 centaines des 64 dixaines multiplié par les 9 unités ou de 1 10692 centaines, de 3 fois les 64 dixaines multipliées par le carré 81 des 9 unités , ou de 1 5552 dixaines , et du cube 729 des 9 unités ; la somme 273369449 tic ces quatre parties est le cube de 649.

110. Nous allons faire voir comment on peut extraire la racine cubique d'un nombre entier quelconque. Nous supposerons d’abord que le nombre donné N est le cube d’un nombre

entier R; de sorte que l/N =a R.

1'' Exemple. Extraire la racine cubique de 262144- On dispose le calcul de la manière suivante :

Cabe

64 Racine cubique.

i«fResie. . .

a* Reste.. .

6 * x3=io8 43aoo

Le nombre 262144 uyant chiffres, il résulte du principe du 11° 107 que la racine cubique R aura deux chiffres a , b , qui représenteront respectivement des dixaines et des unités.

Pour déterminer le chiffre, a, des dixaines de 1/2621 44’ on observe que la racine cubique R, de 262144 ctant composée de a dixaines plus d’un nombre ^'d’unités moindre que I o, il suit du principe du n" 109 que le cube 262144 6e R sera tonné : du cube de a dixaines, de trois fois le caiTé de a