CHAPITRE VI

pas un ntultiple de 3 , ou lorsqu’en faisant abstraction de la virgule dans N, le nombre entier qu’on obtiendra n’aura pas de racine cubique exacte , la racine cubique .de N sera nécessairement incommensurable.

Nous allons faire voir comment on peut calculer la racine cubique d'un nombre quelconque avec une approximation donnée,

116 . Pour déterminer la plus petite valeur entière approchée de la racine cubique d'un nombre N {décimal ou fractionnaire) plus grand que l'unité , il suffit de calculer la plus [letite valeur entière approchée de la racine cubique de la partie entière contenue dans le nombre donné N. On démontrera ce principe à l’aide de raisonnnemens analogues à ceux du 11“ 102 .

Ainsi : la pins petite valeur entière approchée de V^ 2 jb ,35

est la même que celle de {/iiS ; cette dernière est 6 .

117 . Pour obtenir la racine cubique, d’un nombre quelconque N à moins de - , il sujffit de calculer la plus petite valeur

entière approchée À de la racine cubique N/?^ ( n“ 116 ), et de diviser ensuite A par p. On démontrera ce principe à l’aide de raisonnemens semblable.s à ceux du n° 105 ; on en déduira des règles particulières analogues à celles qui ont été données dans ce numéro, et on trouvera : quela racine cubique de 8 '] 55 , à moins d’un centième d’unité , est 20,61 ; que la racine cubique de 13,5 à moins d’un centième d’unité est 2,32 ; que la racine cubique de 0,000012755427 etc., à moins d’un millième

d’unité est 0,023 ; que la racine cubique de à moins d’un cen-

amollis

tième d’unité est 1,47; etque la racine cubique de -y— à de — est

118 . Pour approcher le plus possible de la racine cubique d un nombre {entier, ou fractionnaire, ou décimal) en ne conservant qu'un nombre déterminé de décimales , on calcule une

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décimale de plus à la racine, et on supprime ensuite cette déci- 1

male , d’après la règle du n“ 64. ^

119. Lorsque l’indice de la racine à extraire , ne renferme pas d’autres facteurs premiers que i et 3, on obtient cette ra- 1

dite en extrayant successivement des racines carrées et des *

racines cubiques. i

Par exemple , 6 éiant le produit de 2 par 3, pour obtenir la ^ racine sixième de 64, on prend d’abord la racine carrée de 64 qui est 8, et la racine cubique de8, qui esta; ce dernier nombre est la racine demandée. Car, d’après les calculs indiqués, ^

64=8', 8=2*; d’où 64=f2^)’=2®.

De même, la étant le produit de 2 par 6, pour obtenir

4/ 4096, on prend d’abord la racine carrée de 4°96 qui est 64; la racine sixième de 64 sera la racine demandée. On trouvera , coinmedans le Exemple, que

V/64 = 2. De sorte que l/ 4096 = 2.

Lorsque l’indice m de la racine à extraire renferme d’autres facteurs premiers que 2 . et 3 , la démonstration arithmétique de la règle à suivre , pour obtenir la racine m'*'”' d’un nombre entier, devenant très compliquée, nous ne traiterons cette question que dans V Algèbre. On verra d’aillcUrs , dans le huitième chapitre , comment on calcule , à l’aide des logarithmes, des valeurs approchées des racines de tous les degrés.