CHAPITRE SEPTIEME

Des Rapports, des Proportions et des Progressions.

§ I". Des rapports et des proportions.

120. La différence entre deux quantités est leur rapport arithmétique ou par différence } le quotient de la division de deux quantités l’une par l’autre est leur rapport géométrique ou par quotient. Ainsi, le rapport arithmétique de i8 à 6cst

1 8 — 6 ou I a , et le rapport geometrjque de iSabest — ou

3 -, i8 et 6 sont les deux termes de chacun de ces rapports ; le i" terme i8 en est Y antécédent, et le a* terme 6 en est le conséquent.

IJn rapport arithmétique ne change pas , quand on augmente ou quand on diminue ses deux termes d’un même nombre , car il est bien évident que lorsque deux nombres augmentent ou diminuent d’une même quantité leur différence ne change pas.

Par exemple , le rapport arithmétique de 7 à 5 est égal h celui de 7 -1- 4 ® ^ "4" 4i« différence entre 7 et 5 est la

même que celle qui existe entre 7 4" 4 et 5 -f- 4-

Un rapport géométrique ne change pas , lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise scs deux termes par un même nombre, car ce rapport exprime le quotient de la division des deux termes du rapport l’un par l’autre , et un quotient ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise le dividende et le diviseur par un même nombre.

Par exemple , le rapport géométrique de 6 à a est le même que celui de 6 X 4 ■* X 4 > 'es quotients

sont égaux ( n" A2).

i 46 NOTES,

181 . L’ assemblage de deux rapports égaux forme une Piîo- PORTION. Par exemple, K; rapport arithine'liquc de ^ à 5 e'tant égal à celui de 1 1 à 9, les nombres 7,5, 11,9, formeiil une proportion arithmétique que l’on écrit de cette manière, 7?5:ii.9,

et que l’on énonce , 7 ejt à 5 comme 1 1 ù 9.

Le rapport géométrique de 6 à a étant égal à celui de 24 à ,S, les nombres 6, 2, 24, H, forment une proportion géométrique , <iiie l’on écrit de cette manière , 6 ; 2 ” 24 I 8.

et que l’on énonce , 6 est à 2 comme 24 est à 8.

Pour distinguer les deux antécédens et les deux conséqueiis d’une proportion , on appelle i'"’ antécédent et t" conséquent les deux termes du i'' rapport; et 2' antécédent, 2' conséquent, ceux du 2' rapport, Le i"’ terme et le 4 ' sont les extrêmes j le 2' et le 3 ' sont les moyens.

Ainsi', dans la proportion géométrique 7 ; 3 28 : 12, les

deux termes 7, 3 , du i®' rapport sont le i" antécédent et le 1" conséquent de la proportion ; les deux termes 28, 12, du 2' rapport sont le 2' antécédent et le a' conséquent de la proportion; 7 et 12 sont les extrêmes , 3 et sont les moyens.

Le quatrième ternie d’une proportion est ce qu’on nomme une quatrième proportionnelle aux trois autres termes. Quand les moyens swit égaux , la proportion est dite continue.

Dans la proportion continue 5 . 7; 7. 9, le terme moyen 7 est une moyenne arithmétique entre 5 et 9 ; cette proportion s’écrit ordinairement de cette autre manière, 5 . 7 . 9, et 9 est une troisième proportionnelle arithmétique à 5 et 7.

De même , 4«>2;: i 2 Z 36 est une proportion géométrique continue qu’on écrit de cette manière H 4 ’' 2 ; 36 ; et laest une moyenne géométrique entre 4 et 36 ; 36 est une troisième proportionnelle géométrique à 4 et 12.

Des proportions arithmétiques.

182 . Nous allons faire connaître les principales propriétés lies proportions arithmétiques.

CHAPITRR VII. i 47

Dans toute proportion arithmétique , la somme des extrêmes est égale à la somme des mojrens.

En effet, soit la proportion arithmétique . 5 : 1 1 . 9 ; elle exprime que les rapports 7 — 5 , 1 1 — 9 , sont égaux. Par conséquent , si l’on augmente ces rapports de la somme 5+9 des conséquens, les résultats 7 — S + S+q, 1 1 — 9 + 5 + 9 , seront égaux. Or, il est bien évident que 7 — 5 + 5 + 9 réduità 7 +9, et que 11 — 9 + 5 -f -9 se réduit à 11 -f- 5 ; la proportion 7.5:11.9 donne donc, 7+9=11 + 5 .

Ce qui démontre la propriété énoncée.

125 . Quand la somme de deux nombres est égale à la somme de deux autres nombres , ces quatre nombres forment une proportion arithmétique , dans laquelle les deux nombres qui c 9 mposenl une des sommes sont les extrêmes et les deux autres nombres sont les mojrens.

En effet', soit l’égalité 7+9=11+5,

Si des deux quantités égales 7 + 9 , n + 5 , 011 retranche le même nombre 5 + 9 , les restes seront nécessairemeni égaux. Or, pour ôter 5 + 9 de 7 + 9, il suffit de diminuer d’abord 7 + g de 9, ce qui donne 7, et d’ôter ensuite 5 de 7, ce qui ’ s’indique en écrivant, 7 — 5 . De même, ôter 5 + 9 de t i+ 5 , revient à diminuer d’abord 1 1 + 5 de 5 , ce qui donne 1 1 , et à ôter ensuite 9 de 1 1, ce qu’on indique] en écrivant 11 — 9^

L’égalité 7 + 9 = 11 + 5, donne donc 7 — 5 = 11 — 9 ; les rapports arithmétiques 7 — 5 , 11—9. sont donc égaux ; on a donc la proportion arithmétique , 7.5:11.9.

Ce qui démontre la propriété énoncée.

Remauque. On déduit des deux propriétés précédentes que si quatre nombres ne sont pas en proportion arithmétique , la somme des extrêmes n’est pas égale à la somme des mojrens ; et que si la somme des extrêmes n'est pas égale à celle de^ mojens , les quatre nombres donnés ne forment pas une proportion arithmétique.

124 . Le quatrième terme d une proportion arithmétique est " égal à la somme des moyens diminuée du premier terme , car la proportion 7 . 5 ; 1 1 .g, donnant 7 + 9 = 5+11, si des

i48 NOTES,

deux quantités égalés 7+9, 5 + 11, on ôte 7, les restes . 9 et 5 -I- Il — 7 , seront égaux .

1215. La moyenne arithmétique entre deux nombres est égale à la moitié de leur somme ; car d'après le principe du n“ 122, la somme des deux nombres est égale au double de la moyenne arithmétique demandée.

’ Ainsi, la moyenne arithmétique entre 5 et 9 est la moitié de 5 + 9 , ou 7 ; et en effet, 5 . 7 ; 7 . 9.

126. On peut faim subir à une proportion arithmétique toutes les transformations qui n altèrent pas l'égalité entre la somme des extrêmes et celle des moyens (n° 125).

Par exemple, la proportion 7 .5; 1 1 .9 donnant 7-f-9=5 '11, les nombres 7,5,11,9 fournissent les huit proportions: