COU II S

Preuve de la Multiplication et de la Division.

7 I Ou peut tii'er de la définitiou même que nous avons donnée de chacune de ces deux opérations , le moyen d’en faire ,1a preuve. ♦

Puisque dans la multiplication on prend le multiplicande autant de fois que le multiplicateur contient d’unités , il s’en- • suit que si l’on cherche combien de fois lé produit contient le multiplicande, c’est-h-dire ( 5 p) si l’on divise le produit par le multiplicande, on doit trouver, pour quotient, le multiplicateur, et vice versd ; en général , si l’on divise le produit d’une'* multiplication par l’un de ses facteurs , on doit trouver pour quotient l'autre facteur. ^

Par exemple , ayant trouvé ci-dessus ( 5 o) que 2864 multij plié par 6 a donné 1^184, je divise 1^184 par 2864; 'je doisj U'ouver, et je trouve en effet, 6 pour quotient.

, Pareillement , puisque le qiigticnt d’une .division marque coiniiicn de fois le dividende contient le divi.seur, il s’ensuit que^ si l’on prend le divjf,eur autant de fois qu’il este marqué par le quotient, c’esteà-;|ire si l’on multiplie le diviseur par le quotient , on doit reproduire le dividende , lorsqueda division a été faite sans^ré.ste,*et que , dans le cas où il y a un reste, si l’on, multiplie le diviseur par le quotient , et qu’au produit on ajoute ' le reste de Iq, division , on, doit reproduire le dividende.

^ Par ^exemple J nous avons trouvé^i-dessus ( 63 ) qim i 8 g 49 '* *dij^é par 375 ^'donnait 5 o 5 pour quotient, et 117 pour reste. En multipliant 373 par 5 o 5 , on trouve 189375 1 auquel ajouiantle^roSte 1 17, on retrouve le divide^e 1894^2.

^Ainÿ la, multiplicat^n et la division peuvent .se servir de •’.preuve réciproquement. , ' *

^Mais 00 peut vérilier ces opérations par un mo^en plus -prompt que nous allons exposer; il ne faut psfs, pour cela,. r*éSl^ er les réflexions que nous venons de faire; elles seront -

niilps dans bcauroup d’antres occasions.

Dt: MATHÉMATIQUES. 4^

** Preuve par 9 . «•

Supposons qu’.nprès avoir multiplié 65498 par 454 > •’*

• irouvé que le produit est 29736092 , on veuille éprouver si ce produit est exact. * *

'■ On ajoutera tous les chiffres 6, 5 , 4 , g, 8 , du multiplicande comme s’ils ne contenaient que des unités simples , et on re- ^ tranchera 9 à mesure qu’il se trouvera dans la somme : on aura un reste qui sera ici 5 .

On. ajoutera pareillement les chiffres 4>^>4 multiplica -

teur, et retranchant pareillement tous les 9 que produira cette , addition , on aura pour reste 4- '

On multipliera le reste 5 du multiplicande par le reste 4 tl" multiplicateur, et du produit 20 on retranchera les 9 qn’il peut renfermer ; il restera 2. ^4*

Si le produit est exact , il faut qu’ajoutant de meme tous les ••'chiffres 2, 9)7, 3 , 6, 0,9, 2 , de ce produit, et retranchant tous les 9 , il ne reste aussi que 2 ; ce qui a lieu en effet.

Cette règle est fondée sur ce principe que, pour avoir le reste de la soustraction de tous les g qu’un nombre peut renfermer, il n’y a qu’à chercher le reste que ses chiffres, ajoutés, comme des unités simples, donneraient après la suppression des g. *

En effet, si d’un nombre exprimé par un seul chiffre sdivi de plusieurs léro on retranche tous les 9 , le reste sera exprimé par ce seul chiffre. Si de 4 <>oo , ou de 5 oo , ou de 60000 , vous retranchez tous les 9 , le reste sera 4 > ou 5 , ou 6 , etc. , ce qui est aisé à voir. ‘

Donc le reste que donnerait , par la suppression des 9 , un nombre tel que 65498(qui est la même chose que 60000, plus 5 ooo ,-plus 4 oo I plus 90 1 plus 8) scf® 1 ® uiême que celui que donneraient 6 , plus 5 , plus 4 , plus 9, plus 8; c’est-à-dire le même c^ue si l’on ajoutait ces chiffres contenant des unités simples.

En voici maintenant l’application à la preuve de la miiiti ' plication. , .

40 COURS

Puisque 654 q 8 est composé d’un certain nombi'e de g et d'ur: reste 5, et que le multiplicateur 453 est composé aussi d’uncer tain nombre de g et d’un reste 4 # il ne peut s’en falloir que du produit de 5 par 4 ou 20 , que le produit total ne soit divisible ■ par g, ou , en ôtant les g, il ne doit s’en falloir que de 2 qiit . le produit total ne soit divisible^par g : donc il doit l’ester an ^ produit la même Quantité que dans le produit des deux restes , après la suppression des g qu’il renferme. ^

On pourrait faire aussi cette épreuve de la même manièi'e par le nombre 3.

A l’égard de la division , elle devient facileà éprouver d’après ce qui a été dit ( 74 )- Après avoir ôté du dividende le reste qu’a f donné la division , on regardera le résultat comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs , et par consé. * quent on y appliquera la preuve par g , de la même manière qu'on vient de le faire.

A. parler exactement , cette veriücalipn 11 est pas infailUble , parce que dans ' la multiplication , par exemple, ai l'on s'était trompé de quelques unités sur quelque cliifTre du produit, et qu'en même temps on eût fait une erreur égale, mais en sens contraire , sur quelque autre chiS're do même produit ; comnir cela ne changerait rien au reste que l'on aurait après la suppression des g, eette règle ne ferait point apercevoir l'erreur ; mais comme il faut, ainsi qn’ou le Toiÿ , au moins deux erreurs , et deux erreurs qui se compensent , on qui ne different que d'un certain nombre de fois g , les cas où cette vériilcalio.i\ serait i fautive sont très-rares dans l'usage.

Quelques usages de la Règle précédente-

76 . La division sert non-seulement à trouver combien de fois h un nombre en contient un autre , mais encore à ^rtager un nombre en parties ^ales. Prendre la moitié, le tiers , le quart , , le cinquième , le vingtième , le trentième , etc. , d’un nombre , c’est diviser ce nombre par 2 , 3 , 4 > 5, 20 , 3o , etc. , ou le partager en 2 , 3 , 4 < ^ ^ 1 3o , etc . , parties égales , pour

prendre une de ses parties.

* La division sert encore à convertir les 'unités d’une certaine espèce, en unités d’une espèce supérieure; par exemple, un ■ certain nombre de deniers en sous , et ceux-ci en livres. Pour

J)E -^lAlliEMATlQUES. 47

réduii^864 deniers eu sous, on remarquera que , ^'üisqu'il faut T 2 deniers pour faire un sou , ciutant de fois il y aura 12 deniers dans 5864 deniers , autant il y aura de sous ; il faut donc diviser [lar fa , et ôn trouvera 488 sous et 8 diH&iers de reste. Pour réduire en livres les 488 sous, on divisera 488 par 20, puisqu’il faiit>

20 éous pour faire la livre , et on aura en total 24 livres 8 sous 8 deniers.

A l’occasion de cette division par 20 , nous remarquerons que ^ quand on a à diviser par un nombre suivi de zéro , on peut abréi'er l'bpération en séparant sur la droite du dividende autant de cliiffres qu’il y a de^ro ; on divise la pai'tie qui reste à gàfttche ^ par les chiifres significatifs du diviseur ; y a illi reste, on^ écrit à sa suite les chiffres qu’on ^sépttf4s ,’ce <|bi donne le , reste total. Par eiemple.t<|itour 4 liviser 5834 par ^ ,,

le dernier chiffre 4 . et je mvîil9||K-^2t']a partie restaut©, 583 , j’ai pour quotient 291, et 1 pour reste ; j’écris à côté dg^iî^f este 1 le chiffre séparé 4 > ce qui me donne 14 pour resjfe tOtÛ , en sorte que le quotient est 29 1 4^. ^

Cette observation peut être appliquée à ia réduction de la > charge d’un navire en tonneaux de pmds. Si l’on sait que la charge est de 2584954 lh; pour là réduire en tonneaux , c’està-dire pour diviser par 2000 , on séparera les trois derniers f i^iffires de la droite ; et prenant la moitié des autres , on aura C1292 tonneaux et 954 Ih. ' '

Quand on veut évaluer en livres et sous U vingli^e d'un nombre de îîvre» proposé , il suit de cette règle que l'opéretioD se réduit h compter (e dernier chiffre pour des sous, et preodre moitié des autres chiffres que Ton comp tera pour des livres. Si , en prenant cette moitié , il reste une unité, on la , comptera pour une dUaine de sous qu'on placera à la gauche du chiffre qu'on a séparé d’abord. Par exemple, si l'on veut avoir le vingtième de 546^3 livres , on séparera le dernier chiffre ü que l'on comptera pour 2 sous t et prenant la moitié de 5467, qui est avec une unité de reste , on écrira A738 livres 12 sous : la raison de celte règle est évidente • en faisant attention que 54672 est 54660 livret, pins 12 Uvi'es ; or, le riaglième de 5466 o est évi-^ demment celui de 12 livrer est 12 sous , puisque le vingtième d'une ■

livre est noaD9« 511 7 avait det sous et deniers ^dani la tomme proposée, on »

négUgeraitlat denier^ dont la vingtième partie ue peut jamais faire un denier K l’égard des tout , triplerait : cl prenant le cinquième , on les porterait

48 COURS

aux denier*. Ain*i 1 « Tingtième de 54 ^^'i Üv. s. 7 den e*l a *33 liv. la s. lu denier*.

S'il s'agissait d'avoir le dixième d'un nombre de livres , on séparerait ie da * nier chifire, etTa/ant doublé, on le compterait pour des sons ; et on compterait comme des livres tous les chifires restans sur la gauche. Ainsi le dixième de 67987 iiv. 6*16798 liv. 14 *• La raison pour laquelle on double le dernier chiffre est que le dixième d'une Hvjk est 3 sous. ** ^

Ou a assez souvent besoin de prendre les 4 deniers pour livre d'une somm e proposée : cela se réduit à en prendre d'abord le vingtième , comme il vient d'étre dit : puis preudre le tiers de ce vingtième. Ainsi pour avoir les quatre* deniers pour livre de 8763 livres, j‘eu preuds le virglièmc qui est 438 Hv.

3 sous, dont le tiers l 46 liv. o s. 8 dco. forme les quatre deniers pour livre de 8763 liv. En efi^ , les quatre deniers pour livre n#sont autre chose que le soixantième, puisque 4 deniers sont coutenus Go fuis dans la livre. Or le * soixantième est le tiers du vingtième. ^

• Des Fractions.

77. Les fractions nonsidérées ariüiinëtiquenient sont des nombres par lesquels on exprime les quantités plus petites que Punité.

78. Pour se taire une idée nette des fractions, il faut concevoir que la quantité qu’ou a prise d’abord pour unité , est elle même composée d'un certain nombre d’unités plus petites , « . comme l’on conçoit , par exemple , que la livre est composée de ^

V ingt parties ou de vingt 'unités plus petites qu’on appelle tous.

Une ou plusieurs de ces parties foiment ce qu’ou appelle une fraction de f unité. On donne aussi ce nom aux nombres qui « représentent ces parties.

79. Une fraction peut être exprimée en nombres deux manières qui sont chacune en usage.

La première manière consiste à représenter, comme les nom* ^ bres entiers , les parties de l’unité que contient la quantité dont . il s’agit; mais alors on donne un nom particulier aces parties • '* ainsi pour marquer 7 parties dont on en conçoit 20 dans la livre, on emploierait le chiffre 7 , mais on prononcerait 7 sous , et on écrira 7 : cette manière de marquer les parties de l’unilé a lieu dans les nombres complexes , dont nous parlerons par la suite.

, So.’Mais comme il fautb'a un signe particulier pour chaque

DE WATIIKMATIQL’ES, 4<j

division qu’on pourrait faire del’uuité, on évite cette multiplication de signes, en marquant une fraction par deux nombres placés l’un au-dessous de l’autre , et séparés par un trait. Ainsi pour marquer les 7 parties dont il vient d’être question, on écrit

; c’est-à-dire , qu'en général , on écrit d’abord le nonibre qui

marque combien la quantité dont il s’agit contient de parties de l’unité, et on écrit au-dessous de ce nombre, celui qui marque combien on conçoit de ces parties dans l’unité.

8 1 . Et pour énoncer une fraction , on énonce d’abord le nombre supéi’ieur qui s’appelle le numérateur , ensuite le nombre ' inférieur qui s’appelle le dénommateur j mais on ajoute, an notai de celui-ci la terminaison i'eme. Par ëxemple, pour énoncer

— , on prononcera sept vingtièmes ; pofn-’’ éiîbnper on pr»

noncera quatre cinquièmes ; et par cette expression quatre ciu' quiemes , on doit entendre quatre parties , dont il en faudrait 5 pour composer Tunité.

Il faut seulement excepter de la terminaison générale, les

fractions dont le dénominateur est 1 ou 3 ou 4, qui se ju o-

noncent moitiés ou demies , tiers , quarts. Ainsi ces fractions

~’ prononceraient rfemi , deux tiers , trois quarts.

82. Le numérateur marque donc combien la quantité représentée par la fraction contient de parties de i’unité ; et le dénominateur fait connaîtré de quelle valeur sont ces partiés , eu marquant combien il en faut pour composer l’unité. On lui donne le nom de dénominateur, parce que c’est lui en effet qui donne le nom a la fraction , et qui fait crue dans ces deux fractions ,

par exemple , ^ et - , les parties de la premièie s’appellent des cinquièmes , et les parties de la seeonde àes septièmes.

83. Le numérateur et le dénominateurs’appcllent aussi, d'uu nom commun , les deux termes de la/raction.

-, Dczohî. Arithnii T. 1. î

5c . ■ f ‘ COUUS

Des Entiers considérés sous la forme ^ Fraction.

84- opérations qu’on fait sur les fractions conduisent souvent à des résultafs fractionnaires, dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, par exemple, à des résnltats“

tels que - , ^ . rie.

Ces sortes d’expiessions ne ^ont pas des fractions propre- • meut dites, mais ce sont des nombres entiers joints à des frac- -tious.

’ 85. Pour extraire les entiers qui s’y trouvent renfermes , il

faut diviser le numérateur par le dénominateur. Le quotient ....marquera les entiers, et le reste delà division sera le numé-f

ratcur de la .fraction qui accompagne ces entiers. Ainsi -J-

donneront 5 ^ , 6’est-à-dire cinq entiers et deux cinquièmes.

*' ■ '' Ofl , ' . ’

En elfet , dans l’expression , le dénominateur 5 fait con- ^ naître que l’imité est composée de S'tiirties^ donc autant de fois

‘ : il y aura 5 dans 27 , autant il y, aura d’unités entières dans Fa

valeur.^ da fraction ^

• * 86. Les multiplicatiçns et les d'ivisions des nombres entic^ joints aux fractions, exigent-, dn moins pour la facilite , qu on

■ convertisse ces entiers éb fractions. ,

■ ' On fait cette conversion en fnultipliant le nonibrc entier parle dénominateur dç lafraction en luritielle on veut réduire cet entier^

- - Par exemple, si l’on Veut convertir 8 entiers /n cinquièmes ,

on multiplier 8 par 5; et on aura^. En'effet. lorsqu'on

vent convertir 8' en cinquièmes , on regarde l’unitécomrae coinposée de 5 parties.; les 8 unités en obntiendront donc 4o^ pa-

rcillenient. 7 | convgrtis^en ueuvièmes.feront -i.

'id: .

'xP

DE MA’rHEMATlOUES.

Des chaiigemens qu'on peut faire subir aux deux termes d’une Fraction sans. cJuinger sa valeur.

87. Il est visible que plus on concevi-a de parties' dans l’iinité, et plus il faudra de ces parties pour composer une même . quantité.

88. Donc on peutVendre le dénominateur d’une fraction double , triple , quadruple , etc. , sans rien changer à la valeur de la f’ractiorv , pourvu qu’en même temps on rende aussi le nuv' mérateur double , triple , quadruple , etc.

On peut donc dire, en général , qu’«7iey«zc/rOM ne changet point de valeur, quand on multiplie ses deux termes par un ■ même nombre.

Ainsi'^estla même chose que - la même' choso que ^

que , que — , etc.