I : a' partie : : a 1 3 , i : 3' partie

Ces deux dernières proportions donnant

a» parties-, 3®partie=|,

on voit que les parties demandées doivent être proportion-

nelles aux nombres I , -, ^.Multipliant ces no§ibres par ax^

la question se réduit à partager 78 en trois parties proportionnelles aux nombres 10 , i5, et i4- Les parties cherchées sont donc ao , 3o et a 8 ( 7 * Problème).

On pourra résoudre d’une manière semblable ceux des problèmes du 5° Chapitre qui sont relatifs aux intérêts simples, aux intérêts composés, etc.

% 3. Des progressions arithmétiques.

142. La progression arithmétique ou par différence est formée d’une suite de termes croissons ou décroissans, tels que la

i6o NOTES, .

différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante; cette différence eut la. raiso7i de la progression. r Par exemple, les nombres 4> 7» lo, i3, i6, forment une progression aritlime'tique croissante dont la raison est 3 , et que l’on écrit ainsi : f 4* 7* *3* ib ; on l’énonce

4 est à 7 , comme n est h lo, comme lo est a i3, comme i3 est à |6.

Les mêmes nombres écrits dans un ordre inverse donnent la progression arithmétique décroissante J i6. l3. lO. 7. 4* 145. D’après la débnition de la progression arithmétique croissante, le 2' terme est égal au i" plus la raison , le 3' est égal au 2' plus la raison , c’est-à— dire au i'' terme augmenté de 2 fois la raison ; et en général, un terme d’un rang quelconque est égal au premier terme augmenté d’autant de fois la raison qtéil j- a de termes avant lui.

Quand la progression est décroissante, un terme d’un rang quelconque s’obtient en diminuant le !"■ terme d’autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui.

144. Problème. Insérer un certain nombre n de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés , c’est-â-<lire placer n termes entre deux nombres donnés, de manière que l’ensemble de tous ces termes forme une progression arithmétique.

Pour être en état de trouver ces moyens arithmétiques, il suffit de déterminer la raison de la progression cherchée. Or, en considérant le plus petit des deux nombres donnés comme le i'’ terme de4h progression , et en observant que le nombre total des termes doit être égal à n -4-2 , le dernier terme de la progression, c’est-à-dire le plus grand des deux nombres donnés , est égal au plus petit de ces deux nombres , plus la raison multipliée parn-f- i (n® 145); le plus grand des deux nombres donnés diminué du plus petit , est donc égal au produit de la raison par n -j- i .

1415. Par conséquent : Pour obtenir la raison de la progression demandée , il suffit de prendre la différence entre les deux nombres donnés , et de la diviser par le nombre des moyens arithmétiques augmenté de r .