CHAPITRE Vil

Exemple. Insérer 6 mo j’élis arithmétiques entre a eJ a 3 .

On divise a 3 — ?. par 6 + i , c’est-à-dire 2 1 par ■j , le quo- ■ tient 3 exprime la raison de la progression, qui est

T 2. 5 . 8. II. i 4 - 17. 20. 23 .

Les moyens demandés sont donc 5 , 8, 11 , i 4 > >7 et 20.

146 . H résulte delà règledu n° 146 qu’en insérant successivement un même nombre de mojens arithmétiques entre le i'"" et le 2* terme d’une progression arithmétique, entrg le 2' terme et le 3 ', etc., V ensemble de tous ces termes forme une nouvelle progression arithmétique.

Exemple. Soit la progression 7 2. i 4 - 26.

S: l’on insère successivement trois moyens arithmétiques entre 2 eti4> et entre i4 et 26, on trouvera la nouvelle progression

§ 4- progressions géométriques .

147 . Lq progression géométriqueou par quotient est formée ' d une suite de termes tels quea divisant chaque terme par celui qui le précède, le quotient reste constant; ce quotient est la raison de la progression.

Par exemple , les nombres i , 3 , 9, 27, 81 , forment une progression géométrique dont la raison est 3 , et que l’on écrit ainsi :

on l’énonce : i est à 3 , comme 3 est à comme 9 est à 27, comme 27 est à 81.

148 . D’après la définition de la progression géométrique, le 2* terme est égal au i" multiplié par la raison ; le 3 ' est égal au 2* multiplié par la raison, ce qui revient au produit du i” terme par la raison prise deux fois comme facteur, c’est-à-dire au produit du 1" terme par la 2' puissance de la raison ; et en général, un terme d’un rang déterminé est égal au premier ^ terme multiplié par la raison prise autant de fois comme fac-

i62 notes,

tetir qu'il y a de termes avant lui. De sorte qu’un terme quelconque s’obtient en multipliantle !"■ terme parla raison éleve'e à une puissance marquée par le nombre des termes qui le precedent.

149. Problème. Insérer un certain nombre n de moyens géométriques entre deux nombres donnés. Cela se réduit à déterminer la raison de la progression demandée. Pour y paryenir , on observe que le nombre total des termes de la progression étant égal à n-f-a, le plus grand des deux nombres donnés , qu’on prend pour dernier terme de la progression , est ' le produit du plus petit de ces nombres , par la raison élevée à une puissance marquée paru -f- i (n® 148); divisant donc le plus grand des nombres donnés par le plus petit, le quotient sera égal à la raison élevée à une puissance marquée par n -l- I .

130. Par conséquent : Pour obtenir la raison de la progression demandée , il suffit de calculer le quotient du plus grand des deux nombres donnés par le plus petit, et d'extraire de ce quotient la racine du degré marqué par le nombre des moyens géométriques augmenté de i .

Exemple. Insérer deux moyens géométriques entre 2 et 54- Ou divise 54 par 2 ; et on extrait la racine troisième du quotient 27 ; le résultat 3 exprimant la raison de la progression , cette progression est ff 2 : 6 ; 18 : 54.

181. Il résulte de la règle dn n“ 180 qu’en insérant successivement un même nombre de moyens géométriques entre le 1" et le 2" terme d’une progression géométrique , entre & 2' elle 3* terme, etc., l’ensemble de tous ces termes forme une nouvelle progression géométrique.

Exemple. Soit la progression H 2 I 32 ! 5i2.

Si l’on insère successivement trois moyens géométriques entre 2 et 32, et trois moyens géométriques entre 82 et 5i2, on obtiendra la nouvelle progression