CHAPITRE HUITIÈME

Théorie des Logarithmes.

5 i". Propriétés générales des logarithmes dans un sjrst'eme quelconque.

182. Quand on compare deux progressions indefinies, l’une géonie'trique commençant par runité , Tautre arithmétique commençant par zéro , chaque terme de la deuxième progression est ce qu’on appelle le logarithme du terme correspondant dans la première pi'ogression ; l’ensemble des termes de ces progressions forme un sjsihme de logarithmes .

On déduit des principes des n“* 148 et 145, que, dans "des progressions de cette espèce,

j°.'Chaque terme de la progression géométrique est égal à la raison élevée à une puissance indiquée par le nombre des termes qui le précèdent f

2 ®. Chaque terme de la progression arithmétique est égal à la raison répétée autant de fois qu’il jr a de termes avant lui;

3“. Le produit de plusieurs termes de la progression géométrique est un des termes de cette progression; car, d’après (i°), ce produit est une puissance de la raison, et toute puissance de la raison est un terme de la progression ;

4®. La somme de plusieurs termes de la progression arithmétique est un terme de cette progression ; car, d’après (a®) , cette somme est un multiple de la raison, et tout multiple de la raison est un terme de la progression ;

5®. Lorsqu’on prend deux termes correspondans , dans les deux progressions, celui de la progression géométrique est égal à la raison de cette progression prise un certain

If..

i«4 WÜTKS, *

nombre Je lois comme facteur, et celui de la projp'cssion arithmétique est e'gal à la raison de cette progression répétée le même nombre de fois. Cela résulte de (i“) et (2®).

11 suit de là que si l’on muliiplie l’un par l’autre plusieurs termes de la progression géométrique , et si l'on ajoute les termes correspondons de la progression arithmétique, le PRODUIT et la SOVME seront deux termes qui se correspondront dans ces progressions.

Par exemple , considérons le 5* terme et le 7* ;

D’après (1®), dans la progression géométrique, le 5* terme est la 4* puissance de la raison et le 7* terme est la 6® puissance de la raison ; le produit de ces deux termes sera donc une puissance de la raison marquée par 4 -f~ ^ ou par 10 (n® 90, i” Remarque). Ce produit sera donc le 11' terme de la progression géoiAétrique.

D’après (2®) , dans la progression arithmétique, le 5* terme est égal à 4 fois la raison , et le 7® terme est égal à 6 fois la raison ; la somme de ces deux termes sera donc égale à la raison prise un nombre de fois marqué par 4 + 6 ou par lo-'* Cette somme sera donc le ii® terme de la progression.

Le produit et la somme seront donc deux termes qui se correspondront dans les deux progressions.

Par conséquent : Pour trouver le produit de plusieurs termes de la progression géométrique , il suffit d’ajouter les termes correspondons de la progression /arithmétique y la soHME correspond au produit demandé.

Exemple. Soient les deux progressions

■Hi :3;9:27:8 i : 243:729:ai87:656i :. . . .

Pour en déduire le produit des termes 3, 27, 81, de la progression géométrique, il suffU d’ajouter les termes correspondans 2, 6, 8, de la progression arithmétique , la somme 16 est un terme de la progression arithmétique, et le terme correspondant 656 1 de la progression géométrique exprime le produit demandé.

CIIAPITUE VIII. i65

Les termes de fa progression arithméliqiie étant les logarithmés des termes correspondans de la progression géométrique, on voit que le logarithme du produit de plusieurs termes de la progression géométrique est égal à la somme des logarithmes de ces termes.

1S5. Cette propriété des logarithmes , qui ramène la multiplication de plusieurs nombres à une simple addition , ne parait applicable qu’aux nombres qui font partie de la progression géométrique. Nous allons faire voir qu’on peut étendre la même propriété à tous les nombres compris entre les termes de la progression géométrique primitive. Nous supposerons toujours que les deux progressions données sont croissantes , qu’elles se prolongent indéfiniment, que le i*' terme de la progression géométrique est égal à l’unité , et que le tenue correspondant de la progression aritli me tique est zéro. Si l'on insère successivement une moyenne géométrique , entre le i" ternie et le 2 ' terme de la progression géométrique, entre lu 2 ' terme et le 3*, etc.; et si l’on insère de môme une moyenne arithmétique entre les termes successifs de la progressiou arithmétique, ou parvieudra à deux nouvelles progressions (ii°* f46 et 11$1) qui renfermeront un plus graud nombre de termes; de sorte que ces termes croîtront plus lentement que ceux des deux progressions primitives ; ces nouvelles progressions jouiront encore de la propriété énoncée. Opérant sur ces nouvelles progressions comme sur les précédentes, et continuant de la môme manière, on obtiendra successivement des nouvelles progressions qui jouiront encore de la propriété énoncée, et dans lesquelles la différence entre deux termes consécutifs, deviendra de plus en plus petite ; de sorte qu’on pourra toujours pousser les calculs assez loin pour parvenir à deux progressions telles que la différence entre dôux ternies consécutifs quelconques soit aussi petite qu’on voudra ; on peut donc concevoir que tous les nombres plus grands que l’unité finiront par faire partie d’une certaine progression géométrique croissante commençant par l’unitc, à laquelle correspondra une progression arithmétique

NOTES

croissante commençant par ze'ro; les termes de ces progressions iouiront encore de la propriété e'nonce'e ; de sorte que cette propriété convient à tous les nombres.

D’après ce qui précède : i“. Le logarithme du produit de plusieurs nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres y

2 °i Le logarithme du quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur } cela se déduit de (i“); car le dividende étant égal au produit du diviseur par le quotient, il suit de (i°) que le logarithme du dividende est égal au logarithme du diviseur augmenté du logarithme du quotient.

Le logarithme d une fraction est donc égal au logarithme du numérateur, moins le logarithme du dénominateur.

3“. Le logarithme du quatrième terme dune proportion s’obtient en retranchant de la somme des logarithmes des moyens, le logarithme du premier terme. Cela résulte du principe du n° 129 , et des propriétés énoncées (i°)’’et ( 2 “). ,

4". On trouve le logarithme dune puissance dune quantité, en multipliant le logarithme de cette quantité par le degré delà puissance { 1 °).

5“. Le logarithme de la racine d'un certain degré dun nombre , s’obtient en divisant le logarithme de ce nombre , par le degré de la racine qu’on veut extraire (4“).

184. Pour calculer les logarithmes des nombres plus grands que V unité , avec un approximation donnée , on continue les calculs indiqués dans le n“ 185, jusqu*à ce qu’on parvienne à deux dernières progressions, dans lesquelles la raison de la progression arithmétique soit moindre que l’approximation donnée ; les termes de la progression arithmétique seront les valeurs exactes des logarithmes des termes correspondans de la progression géométrique. On pourra déduire de ces deux dernières progressions, les valeurs approchées des logarithmes des nombres compris entre les termes de la progression géométrique. Par exemple , pour trouver le logarithme d’un nombre N , on cherchera dans la progression géométrique