CHAPITRE VIH

les deux termes consécutifs qui coi^rennentN ; le logarithme demandé de N sera compris entrées deux termes correspondans de la progression arithmétique; et comme ces deux termes diffèrent d’une quantité moindre que rapproxiinatiou donnée, chacun d’eux exprimera le logarithme cherché de N, avec l’approximation donnée.

§ a*. Des logarithmes dans le sjslème dont la base est dix.

tSü. Nous ne considérerons désormais que le système {iarticulier déterminé par les progressions indéfinies primitives

H I ; 10; 100; 1000; 10000; loooootetc. , ïO. I . a . 3 . 4 • 5

Dans ce système de logarithmes ,

1°. Les termes o, i , a, 3, etc. , de la progression arithmétique, sont les logarithmes des termes correspondans, i , 10, 100, 1000, etc., de la progression géométrique; la raison 10 de la progression géométrique est la base du système de logarithmes, le logarithme de l’unité est zéro , et le logarithme de la base est égal à l’unité.

2°. Les logarithmes des nombres 1, 10, roo, etc., étant O, 1,2, etc., suivant qu’un nombre est compris entre i et 10, entre 10 et 100, etc., son logarithme tombe entre o et i , entre i et 2, etc. it suit de là que si l’on évalue les logarithmes en décimales, la partie entière du logarithme d’un nombre entier ou décimal plus grand que i, contiendra autant d’unités moins une, qu’il y a de chiffres dans la partie entière du nombre dont on cherche le logarithme. Cette partie entière du logarithme s’appelle caractéristique.

3°. Lorsque le logarithme d’un nombre quelconque N est connu, pour en déduire le logarithme du produit ou du quotient de N par l’unité suivie de nzéro, c’est-à-dire par 10*, il suffit d’augmenter ou de diminuer log n {*) de n. Cela ré-

(*) Pour indiquer le logarilhme d'un nombre , on place devanl ce nombre le ligne log, ou simplement la lettre initiale l. Ainsi, cliaenne des expressions log6j, /6{, désigné le logarithme de 64; l(a + l>) représente le loga-

i68 .NOTES,

suite des principes du n° 11^. Car, d’après ces principes,

l N X io*=/iV + /io* = ZiV’ + n/ io = /iV-t-«,

^ =lN-lio'‘ = lN~nlio = lN~- n.

186. On pourra calculer les valeurs approchées des logarithmes des nombres entiers parla méthode indiquée (n® 184). Mais le calcul peut être simplifié, lorsqu’il s’agit de trouver directement le logarithme d'un nombre donné , car il suffit de chercher successivement la moyenne géométrique entre les deux termes de chaque nouvelle progression géométi ique qui comprennent le nombre dont on cherche le logarithme, et la moyenne arithmétique entre les deux termes correspondans de chaque nouvelle progression arithmétique ; chaque moyenne arithmétique est le logarithme de la moyenne géométrique correspondante. On continue l’opération jnsqu’à ce que les deux termes de la dernière progression arithmétique diflerent entre eux d’une quantité moindre que l’approximation donnée. Chacun de ces termes exprime le logarithme demandé.

Exemple. Déterminer le logarithme de 3, à moins dun dixihme if unité.

Ou cherche d’abord la moyenne géométrique \/ lo ou 3,i6aetc., entre les termes i et lo de la progression géométrique qui comprennent le 'nombre 3 ; la moyenne arithmétique o,5o, entre les termes correspondans o et i delà progression arithmétique , est le logarithme de 3, 162 etc. Le nombre 3 étant compris entre i et 3,i6aetc., son logarithme tombe entre les logarithmes o et o,5o des nombres i et 3,i6a etc. ; cherchant la moyenne géométrique 1,778 etc., entre 1 et

ritbmc <lc la somme des nombres a, b; la- indique le logarithme de a"; représente le logarithme du quotient de a par b, on le logarithme de la

fraction eliacuuc des expressions Ing f n" , indique le logarithme de la racine de a’.