CHAPITRE VIII

fois 3 , ou à soustraire 6 ; le résultat de l’opération doit donc indiquer une soustraction de 6 unités ; il est donc exprimé par — 6.

On en déduit que le quoticni d’un nombre négatif par un nombre positif est négatif.

Ainsi le quotient de — 6 par 2 est — 3 .

160. Pour être en état d’opérer avec une table de logarithmes, il suffit de savoir résoudre les deux problèmes suivans :

!"■ PaoBLÈaiE. Trouver le logarithme d’un nombre donné.

Les logarithmes des nombres entiers moindres que loooo sont dans la Table.

I *' Cas. Lorsqu’on demande le logarithme d un nombre entier oft d’un nombre décimal plus grand que l’unité , la caractéristique de ce logarithme est connue d’avance (n** 166, 2°) ; et comme la partie décimale du logarithme d’un nombre ne change pas lorsqu’on avance la virgule de plusieurs rangs vers la droite ou vers la gauche de ce nombre (n® 166, 3”), on peut toujours ramener la question k déterminer la partie décimale du lo;’,arilhmc d’un nombre compris entre loeo et loooo, en transportant la virgule à la suite des quatre premiers chiffres à gauche du nombre dont on cherche le logarithme.

Exemple. Calculer le logarithme de SgR.

La caractéristiqu e de celogarithme est 4 et sa partie décimale' est la même que celle du logarithme de 2159, 8. Il suffit donc de chercher la partie décimale de ce dernier logarithme.

Le logarithme de 2159 étant 3,33425, nous allons déterminer ce qu’il faut ajouter à ce dernier logarithme pour obtenir celui de 21 59,8. Or, la différence entre l aiSg et 1 2160, est 0,00020. On peut donc dire :

Si pour une unité ajoutée nu nombre Ü faut ajouter O|OO 03 o h &ot»

' logarithme ÿ combien pour 0)8 ajoutés k cc nombre, <loit-on njotiter h ce logarithme?

Désignant cette inconnue par x, on pose la proportion 1 ; 0,00020 ;; 0,8 : x; d’où x — 0,00016.

Ajoutant 0,00016 à 3, 33425,lasomaie 3,3344* est le logarithme de 2i5g,8. Le logarithme de 2,1 5g8 est donc 4|3344**

JSOTES,

ün eu déduit que les logarUbines des iiuinbrcs ,

21,598, ajtSgB, 2t5g8 et 21 698000, sont

Remarqde. On fait dépendre la recherche des logarithmes des nombres entiers et décimaux qui ne sont pas dans la table, ' de celle des logarithmes des nombres compris entre 1000 et 10000, parce que les logarithmes dés nombres en tiers de quatre «hiflfres sont les plus grands qui se trouvent dans nos tables , ' et parce que l’erreur due à la proportion dont on fait usage C*") est d’autant moindre que les nombres sont plus grands. En opérant de celte manière, la proportion indiquée conduira à la valeur du logarithme cherché^ à moins d’un ceut-inillième d’unité. De sorte que dans le calcul du quatrième terme de la proportion indiquée, on devra négliger les unités irférieures aux cent-millièmes.

2' Cas. Le logarithme d'une, fraction s’obtient en retranchant le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur ln° IU 5 , 2°). '

Par conséquent, selon qu’une fraction est plus grande ou plus petite que l’unité , son logarithme est positif ou négatif.

On trouve de cette manière que les logarithmes des fractions

9 fi «598 et sont

2,58709, — 2,58709, 2,3344*1 et — 3,66559.

3' Cas. Le logarithme d’un nombre décimal moindre que l’unité s’obtient en prenant le logarithme de ce nombre , abstraction faite de la virgule , et en retranchant de ce dernier logarithme autant d! unités qu’il jr a de chiffres à droite de la virgule dans le nombre décimal proposé. Cela résulte des principes des n”’ 815 et 188 (2®).

Exemple. Calculer le logarithme de 0,002 1698.

(*} Cette proportion suppose que lot difFerences entre les nombres sont proportionuclK's aux différences entre les logarithmes de ers nombres.

CnAFHKE VIfl. 173

On cherche le logarithme 4|3344> de 21698, et on en ôte 7 unités. Suivant qu’on clTectue cette soustraction, sur le logarithnio 4|3344t ou sur la caractéristique 4» le résultat est — 2,6655900 — 3-4-0, 33441 î card’aprèsle principedun°138, 4,33441 — 7= — (7 — 4 i 33440==~ 2,66569, et 4,33441 — 7 = 4 — 74 " 0 | 3344 ' = — 3 -f-o, 33441 =3,33441-

Le signe — placé au-dessus delà caractéristique 3 indique qu’elle est seule négative.

Ou voit que le logarithme d'un nombre décimal moindre que T unité est susceptible de deux formes.

I®. Quand on demande'que le logarithme soit entièrement négatif, le calcul se réduit à chercher la partie décimale du logarithme du nombre entier qui résulte de la suppression de la virgule dans le nombre proposé, à soustraire cette partie décimale de 100000 (ce qui revient à ôter de 10 le i*' chiffre à droite de cette partie décimale, et à retrancher de 9 tous les autres chiffres décimaux), le reste est la partie décimale du logarithme cherché; la caractéristique de ce logarithme contient autant d’uqités qu’il y a de zéro entre la virgule et le premier chiffre décimal significatif du nombre donné.

Exemple. Déterminer les logarithmes des nombres

o,2i5g8, 0,021698, et 0,00021698.

On cherche la partie décimale 3344i ^ 2169,8; on ôte

3344> tie 100000 ; le reste 66669 est la partie décimale des logarithmes demandés, et leurs caractéristiques étant 0,1, 3, ces logarithmes sont

• — 0,66669, — 1,66669 et — 3,66669.

2®. Quand onveut que la caractéristique soit seule négative, il suffit de chercher la partie décimale du logarithme du nombre entier résultant de la suppression de la virgule dans le nombre décimal proposé , et d’affecter cette partie décimale d’une caractéristique négalivè qui contienne autant d’unités plus une qu’il y a de zéro entre la virgule et le premier chiifte décimal significatif du nombre donné.

174 NOTES

Kxkmpi.E. Calculer les logarithmes des nombres

On cherche la partie décimale 3344 > logarithme de2i598,

et on trouve que les logarithmes demandés sont

161 . L’emploi des logarithmes dont la caractéristique seule est négative offre cet avantage, que quelles que soient les puissances de 10 par lesquelles on multiplie ou on divise un nombre, les nombres plus grands ou plus petits que l’unité qui eu résultent, ont des logarithmes dont la partie décimale reste constamment la tneene.

D’après cette observation , lorsque des nombres entiers ne different que par des zéro placés àleurdroite, et quand des nombres décimaux ne diffèrent que par la position de la virgule , les logarithmes de ces nombres ont la même partie décimale. Ainsi , le logarithme de 2159 étant 3,33425, les logarithmes des nombres ^

21590000, 21,59, 0,02159 et 0,000002159,

• sont 7,33425, 1,33425, 2,33425 et 6,33426.

'* 168 . 2* Problème. Trouver à quel nombre appartient un lo-

garithme donné.

■ La caractéristique du logarithme donné faitconnaitre l’ordre

des plus hautes unités du nombre auquel appartient ce logarithme (n”’ 188 et 160 ).

i" Cas. Quand le logarithme donné est positif, on suppose que la caractéristique est 3 , afin de trouver, au moyen de la Table, le plus de chiffres possible du nombre demandé; on cherche le nombre auquel appartient ce nouveau logarithme ; ce nombre ne différant de celui qu’on demande que par la po- - sition de la virgule, et d’après ce qu’on a vu dans le n“ 188 (2*)»

la caractéÿstique du logarithme donné indiquant l’ordre des unités du premier chiffre à gauche du nombre cherché, on place