Î! COL’ US
Réduction des Fractions à un même dénominateur.
' go." i".*Poui’ réduire deiafracüonsà un même dénominateur, multipliez les deux termesdela première, chncunpar le dénominateur de la seconde, et les deux termes de la seconde, chacun par le dénominateur de la première.
> Par exemple , pour réduire à un même dénominateur les deux 2 * 3 .
fractions - , je multiplie 2 et 3 qui sont les deux termes
de la première fraction , chacun par 4, dénominateur de la sc-
condc , et j’ai — qui (88) est de même valeur que
Il, ♦ ^<3
Je multiplie de même les deux termes 3 et 4 de la seconde . fraction , chacun par 3 , dénominateur de la première , et j’ai
qui est de même valeur que en sorte que les fractions ^
■et sont changées en et qui sont respectivement de même
valeur que cellcs-là , et qui ont le même dénominateur entre elles.
Il est aisé de voir que par cette méthode, le dénominateur sera toujours le même pour cliacune des deux nouvelles fractions ; puisque dans chaque nouvelle opération le nouveau dénomi- , natcur est formé de la multiplication des deux dénominateurs pi'iimtifs.
91 2". Si l'on a plus de deux fractions , on les réduira toutes au même dénominateur , en nudt^liant les deux ternies de chacune par le produit résultant de la multiplication des dénominateurs des autres ü'actions.
Par exemple, pour réduire à un même dénominateur les^ (luatre fractions 7^, ï , — , je multiplierai les deux tenues 2
et 3 de la première, parle produitdes trois dénominateurs 4 , 5 , 7 , des autres fractions i jiroduit que je trouve en disant : 4 fuis 5 font 20 ,piiis7lbis2o font i 4 u;j^ multiplie donc 2 et 3 chacun
par ^ 4 u . et j’di qui est de même valeur que ^
DE MATUKMATIQÜES. 5i
Je multiplie pareillement les deux termes 3 et 4 de la seconde fraction , par le produit de 3,5,7, produit que je forme en disant : 3 fois 5 font i5, puis 7 fois i5 font io5 ; je mul-
liplie donc 3 et 4> chacun par io5 , ce qui me donne-'^^, fraction de même valeur que 7.
Passant à la troisième fraction , je multiplie scs deux termes 4 et 5 chacun par 84, produit des trois dénominateurs 3 , 4> . , • 336 , 4
Enfin pour laquatrième , je multiplierai 5 et 7 , chacun par le produit Go des dénominateurs , 3 , 4 » 5 , des trois premières
fractions, et j’aurai au lieu de-; en sorte que les quatre
». 2345 , , 280 3i5 336 3oo
tractions - , 7 , i - sont chancees en 7 — , 7 — , 7 — , 7 — ,
moins simples , à la vérité , que celles-là ; mais de même t.fleni- (lii’clles, et susceptibles , par leur dénominateur commun , des opérations de l’addition et delà soustraction.
Kemarquonsque le dénominateur de chaque nouvelle fraction étant formé du produit de tous les dénominateurs primitifs, ce nouveau dénominateur ne peut manquer d’être le même jHjur chaque fraction.
Réduction des Fractions à leur plus simple expression.
92 . Une fraction est d’autant plus simple , ijue ses deux termes sont de plus petits nombres. 11 est souvent possible d’amener une fraction jifoposée à être exprimée par de moindres nombres, et cela lorsque son numérateur et son dénominateur peuvent êtr? divisés, par un même nombre; comme cette o ération n’en ■ change ^oint la valeur. ( 89 ), c’est une simplification qu’on ne cloit point négliger.
r.V,. Voici le procétlc qu'il faiidra suivre »
54 ' COURS
g3. On divisera le numérateur ^et le dénominateur cRalcurt pari J et on répétera cette division tant qu’elle pourra se faire exactement.
On divisera ensuite les'deux termes par 3, et on continuera Me diviser l’un et l’autre par 3 , tant que cela pourra se faire.
On fera la même chose successivement avec les nombres 5, J, II, i3, x'] , etc. , c’est-à-dire avec les nombres qui n’ont aucun.di viseur qu’eux-mêmes , ou l'unité , et qu’on api>elle nombres premiers ■
Ainsi la seule difficulté qu’il y ait, est de savoir quand on pourra diviser par 2,3, 5 , etc.
On pourra, dans cette recherche , s’aider des principes suivants !
Tout nombre qui finit par un chiffre pair est d^fcjsiblepar i
Tout nombre dont la somme des chiffres ajout'é§ enscinhle , cbmmes’ils étaient dê.s ifriités simples, fera d'ou un ninltiple de' 2, c^est-à-dire un nombre exac^de fois^ , seyi divisible par 3.
Par exqpiple , 5420 1 est djvisftiie par 3 , parce qiie ses chiffres '5‘, 4, 2>3, I ,'font i5 , qui ejt 5*fois 3.
La même chose 'a' lieujpour le nomlire 9 , si les éhiffres ajoul^ ensenîble font 9 ou un multiple de*9.
Cette propriété du nombre 3 se démttntre coinmc celle du nombre g, à très-peu de chbse prcs''^çt l'un et l’autft se démontrent comme pnj'à fait à la prenveale 9 ]"75).
Tout nombre terminépar unfi^u paruhzéroestdh%îblepar5.
.\ l’éfçard du nombre 7 et des suivans, quoiqu'il lot|R>cile de trouver de pareilles règles, comnTe l'examen qu’ellea'‘’''iS|ipo^t est aussi long que la division , il faudr.l^^aycr la divUion.
Proposons-nous,, par exemple , de réduire la fraction Je divise les deux termès par ij, ^cs , deux oernièrs^
chilires de; chacun sont p^irSj. c^'^fZ^^, Jc-^li^’iscd/icorc^ar
'WÊÊÊ' ^ "
I)li ÎVL\T11£1V1AT1QÜES.
2 et j’ai -?--■ Ce quia été dit ci-dessus m’apprend que je puis
diviser par 3; jediviseeu*efi’et,etj*ai ^^Qediviseencorèpai'3> o<.’ qui me donne ; enfin j^essaie de diviser par ^ ; la d\\ isipu
réussit, et me donné-^.
La raison pour laquelle nousprescrivons de ne tenter la division . que par les nomHrcs premiers, a, 3, 5, 7 , etc. , c^esf qu’après avoir épuisé la division par a , par exemj)leV il est inutile de tenter de diviser par 4 » puisque si'cellc-ci pouvait réussir à * plus forte raison lA division^par a aurait-èll(*erioore' pu"se fairèl p 5 . De tous les moyens qu'on peut croptojer poifï* réduire une Itaclion à une * expression plus simple, le plus direct cst^cluî de diviser lei^êux termes par le plus ^rand diviseur commun qu’ils puissent avoir zSoici la rèçlepourtrouvcr ce plus grand diviseur commun.
Divisez le plus'grand des deux termes par le plus' petit ; s'il n'y a point de reste, c’est le plus petit terme qui est le plus grand divisein* commun.
S'il y a un reste , divisez le pl\is petit terme par ce reste, et si la division se' fait oxactement, c'est Ce premiér reste qui est le plus giand diviseur ^commun Si celle seconde division donne nn teste, di^isea le premier reste paille second , et continuez toujours de diviser le reste preq^ent par le dcrnier'rcslc, Jiiiqti*^ ce que vods arriviez a une division cxacldî' Alors le d<^nicr divîsenf que * vous aurez employé sera le plus grand divisdnr da dcux't^mcs de' la fraction.
Si le dernier diviseur se frouve être l'unitpt c'est unç pr.euïc que la^frac-' tion ne peut être réduiteT ^ ‘ '
Prenons pour exemple 4 a Inaction . 2 ?^
fc-,
Jé divise 90^ par 3 j 6 o; j ai pour^yolicnt 9 pour reste' i 5 ivj;
Je divise 37^ par ^04 : J*ai pour quotient 9/ et pour lestr Je divise le premier reste l 5 o 4 par Je second reste : la division rêqssîl , ctj'en conclus que 75a peut diviser les deux (cimes de la fraction â U .
réduir/^asa plus simple expression, qu'on trouve, en faisaiii ropAation.
être —, ■ ■ ‘
Kp eOek^ona IrouYé quejj^Sa dKfso i 5 o^; irdoil doncjiiviser 8760 qu'on a vu être composé de deux fois lSt>4 «t, «le 75a.! on voil de même qu'il doit ÿiviecr 5)0’24 . puisque 9024 csl composé ÿe deux /ois 3760 et «fç i5o4.
‘t)n voit de plus que 76a est le plus grand cqminiiij ^rviseiir que puissent
56 COURS
avoir 3^6o car il ne peut y avoir de diviseur comroun entre Qoa4 et
S^ôo.qui nclc soit en nu'mc temps de 3760 etl5o4:et entre ces dcuz<ciil ne peut y en avoir un qui ne soit en même temps diviseur commua de i5o4 «t de 75 * 1 ; mais il est cvidcntquVntrc ces denx-cî il ne peut y avoir de diviseur coni niun plus grand que 75a; donc, etc. **
Différentes manières dont on peut envisager une -Fraction, et conséquences qu’on peut en tirer.
96. L’idée que nous avons donnée jusqu’ici d’une fraction, est que le dénominateur représente de combien de parties l'unité est
•composée; et le numérateur, combien il y a de ces parties <lans la quantité que la fraction exprime. . •
On peut encore envisager une fraction sous un autre point de vue ; on peut'considérer le numérateur comme représentant une certaine quantité qui doH être- divisée en autant de parties
qu’il y a d’unités dans le dénominateur. Par exemple, dans
on peut con.sidérer 4 comme représentant 4 choses quelconques,
4 liv. , par exemple , qu’il s’agit de part.ager encinq parties ; car il est évident que c’est la même chose de partager 4 liv. en cinq parties pour prendre une de ces parties, ou de partager une live en cim( parties pour prendre 4 ces parties.
97. On peut donc considérer le numérateur d'une fraction comme un dividende, elle dénominateur comme un diviseur. On voit ])ar là ce que signifient les restes de divisions mis sous la forme que nous leur avons donnée (60).
98. Il suit delà, i“. qu’un entier peut toujours être mis sous
la forme d’une fraction, en faisant de cet entier le numé-c '
rateur, et lui donnant l’unité pour dénominateur ; ainsi 8 ou -
.sont la même chose ; 5 ou sont la même chose. • , •
99. a°. Que pour convertir -une fraction quelconque endéoi-' ■ males , il n’y à qu’à considérer le numérateur comme un reste de. tii»ision où le dénominatcjjr* était diviseur, cl opérer par con-
Digittzed^Oÿ GodJ^le
séquent comme il a été dit ( 68 , exemple 11 ) , en observant de mettre d’abord un zéro auqiioticnt pour tenir la place des unités ;
c’est ainsi qu’on trouvera que^ valent en décimales 0,6 ; que-
valent o ,555 , etc. , que— = vaut o,o 4 , et ainsi de suite.
C’est ainsi qu’on peut réduire en décimales tout nombre complexe proposé. Par exemple, il s’agit de réduire 3 '*’ 5 *” 8P 7’' en décimales de la toise , de manière à ne pas négliger une demi-ligne; j’observe que la toise contient 864 lignes , et j>ar conséquent 1728 demi-lignes’; il faut donc , pour ne pas négliger les demi-lignes , porter l’exactitude au-delà des millièmes , c’està-dire jusqu’aux dix-millièmes.
Cela posé, je réduis les 5 *" 8p 7** tout en lignes, et j’ai 823 8^3
lignes, ou 3-7-7 de la toise ; réduisant cette fraction en décimales,
comme il vient d’êti'e dit, on a 0,9625 , et par conséquent 3^,9625 pour le nombre proposé.
Des opératiqns-^de [Arithmétique sur les Fractions .
» «sj
100. On fait sur les fractions les mêmes opérations que sur les nombres entiers. Les deux premières opératipns , l’addition et la soustraction , exigent le plus souvent une opération préparatoire; les deux autres n’en exigent point.
De [addition des Fractions.
101. Si les fractions ont le même dénominateur, on ajoutera tous les numérateurs , et l’on donnera à la somme le dénomina-
leur commun de ces fractions. Ainsi , pour ajouter - , — , -
i’ajoute les numérateurs 2, 3 , -5 , et j'ai par conséquent
que je réduis à 1 - (S 'i).
loa. les li artions ii’oiit |)as le niêiiic dëiiuiiûiialeur , on eoinii'.enceia ]>ar les y réduire par ce qui a été enseigné ( go,) et { 91 ), après quoi on ajoutera ces nouvelles l'ractions de la lua- ‘ fiièrequi vient d’être prescrite. Ainsi, si l’on proposcd’ajouter
7 ’ ^ cliaiige ces ti ois Tractions en trois autres
^ , jr-, dont la somme est- 7 ^ qui «e réduit a 2 — (85).
Go 60 60 ♦ <kGo 60 '
De la soustraction des Fractions.
103. Si les deux fractions proposées ont le même dénooiiiiateur, on retranchera le numérateur de l’une du uumératcur de l’autre , et ou donnera au reste Je dénum'ij^ateur coniuiuii
de ces deux fractions. S’il est question de retrancher - de - " ■ . 9 </
le restesera-quiseréduità^( 9 ' 3 ). , ‘
