Pour diviser une fraction par une fraction, il faut
renverser les deux termes de la fraction qui sert de diviseur, et multiplier la fraction dividende par cette fraction ainsi ren-' i’ersée. . ' “ ^ ' ' t ■
Par exemple, pour diviser^ par je renverse la fraction
"ce qui me donne je multiplie ^ par - s^n là règle^ don-
née (106) , et j’ai — pour le quotient de ^ divisé’par
Pour apcrce^■oir la raison de celte xèÿet il faut observer qùj;
diviser 7 par -, , c’est chercher combien de fois 7 contiennent r- 5 J I . 5 3
ür il est facile de voir, que .puisque le diviseur est altiers*
il sera contenu dans'le dividende trois fois autant que s’il était
2 entiers ; donc il faut diviser d’aboi'd par^ 2 , et multiplier en
suite par 3 , ce qui n’est autre chose due prendre trois fois la
moitié du dividende eu le multiplier par - qui est la fraction
’du divbeur renversée. • . *
110. Si l’On avait une fraction à diviser par un entier, ou un entier à diviser par’unc fraction, on commencerait par mettre 4 l'entier sous I4 forme de fraction, en lui donnant l’unité pour
Bigrtized byC
ÜE MA riIÉMATlQUES.
liénomiiiateur : par exemple, si l’on a 1 2' à diviser par - ,
on réduira l’opération à diviser par — , ce qui , selon la règlc^
qu’on vient de donner, se reduit à multiplier — P^*' g, etdonne
ou i6 Pareillement, si l’on avait -r à diviser par 5,' on ré- 0 0 4
duirait l’opération à diviser ~ par - , c’est-à-dire , à multiplier
7 par ■=, ce qui donne' — .
On voit donc que lorsqu’on a une fraction à diviser par un .entier, l’opération àe réduit à multiplier le dénominateur par cet entier.
1 1 t.S’il y av'ait des en tiers joints aux fractions, on réduirait ces
entiers chacun en fraction de même espèce que celle qui l’ac-
compagne. Par exemple, si l’on avait 54 » à diviser par 12—,
on changerait le dividende en et le diviseur en y , et l’opération serait réduite à diviser par ^ , c’est-à-dire ( 109 )
a multiplier par — , ce qui donnerait — - ou 4 — .
Quelques applications des Règles précédentes.
112. Après ce que nous avons dit (96), il est aisé de voir comment on peut évaluer une fraction. Qu’on demande, par
exemple, ce que valent les - d’une livre-? Puisque les - d’une
livre sont la même chose (96) que le septième de 5 livres, réduis les 5 livres en sous (57), et je divise les 100 sous qu’elle.', me donnent par 7, ce qui me donne i4 sous pour quotient, et 2 sous de reste ; je réduis ces 2 sous en deniers , et je divise
COURS
ÜJ
2/4. denici*s par j*ai 3 deniers -, Ainsi les - d'uuc livre sont
J 4 sous 3 deniers et — de denier.
Si l’on demandait les - de 24 livres , il est visible qu’oii
pourrait d’abord prendre , comme nous venons de le faire , l^s
- d’une livre, et multiplier ensuitc'par 24 ce qu’aurait donné cette opération ; mais il est plus commode de multiplier d’abord
- par 24 livres, ce qui (107) donne livres, et d’évaluer ensuite cette dernière fraction qu’on trouvera valoir 17 livres 2 sous lo deniers
1 13 . Les fractions décimales n’ayant point de dénominateur,
►; sont encore plus faciles a évalner. Sil'ou demande, par exemjJe,
combien valent 0,532 de toise : comme la toise est de 6 pieds,
\c multiplierai o, 532 par 6 , ce qui me donnera 3,192 pieds;
c'est-à-dire 3 ’’ et 0,192 de pied ; multipliant cette dernière frac-
^tion par 1 2 pour évaluer en jiouces. On aura a, 3 o 4 pouces, c’est-
à-dire 2P eto, 3 o 4 de pôiice; enÇn multipliant celle-ci par 12
' pour réduire en lignes , on aura 3,648 ou 3 ' et 0,^8 de ligne ,
c’est-à-dire que la valeur de la fraction o ,532 de toise sera
S** aP‘ 3 ' et 0,648 désigné. ^ ' *'•' ■' ’*
1 14 - L’évaluation des fractions nous conduit naturellement à
parler des /roctionr de fractions. On appelle ainsi une suite de
fractions séparécsles unes des autres par l’article r/e. Par exemple,
.■r de ,, Tz de de ~ , etc., sont des fractions, de fractions.
On les réduit à une seule fraedbn , en multipliant tous les* numérateurs entre eux^cl tous lc$ dcnomiualcurs entre eux : eu,
sorti; que la fraction x de -, se réduit à - 5 -ou la fraction
- ae - ae - se n*tinit a — ow - . .
Oigitizeti
DE lîlATHliMATJQUES.
lin efiet,. il est iacik de voir que prendre les x de h u'rst'
autre chose que multiplier -7 par =', puisque c’est premire - de
fois la fraction y. PSreillcmeiit prendre les -ir des de - , fc-
vient a prendre les — de y , puisque —de y reviennent a — ;
et ce que l’on vient de dire, fait connaître que les *— de ^
, 3 o • reviennent a — ou
Si l’on demandait les»-; de 5 , on convertirait l’entier 5
en huitièmes , et la question réduite à évaluer la fraction
, ~ . 3 , '43 , ji, *^ 5 ’ r '
(le- fraction -7 de -— qu on trouverait être ou /i — .
Ajoutons à tout ce que nous avons dit sur les fractions, un
exemple qui renferme plusieurs des règles que nous avons
établies.
Supposons qu’on veuille construire un vaisseau de 1.40 pieds ^
de longueur, que les distances entre les sabords, en y comprenant l’espace entre le premier' sabord et la rablure de ï’éfravc , et l’espace entre le dernier sabord et la.rablure de l’étaniliot ,
fassent 108 7 pieds : on demande si l’on peut percer 12 sabords
à la pi-emière batterie de chaque bord.
De i 4 o pieds je retranche '108 .7 ( io 3 et sitiu.), il me reste
3 i - pour les sabords ; je divise 3 1 — par 12 , c’est-à-diie
par *-(§6) et (i 10) „ j’ai pour quotient de pied, qui
valent 2 pieds et , fraction qui , évaluée en pouces et lignes, vaut 7 pouces 11 lignes; ainsi il faudrait donrtŸr à chaque
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64 COURS * •
sabord a pieds 7 pouces 1 1 lignes , c’est-à-dire 1 ]jieds 8 pouces
à peu près ; ce qui est une mesure convenable pour un vaisseau
de i 4 o '
11 5. Lorsqu’une fraclîdn, expritriro par des uombrcs un peu considérables, n’est pas réductible par la méthode donnée (yS), et^qu'on peut se contenter ffen avoir une valeur approchée, on peut y parvenir par la méthode suivante, qui donne altcruativemenl des fractions plus grandes et plus petites que* la . proposée, mais toujours de plus en plus approchées, en sorte qu’à la dernière operation on retombe sur la fraction proposée. Prenons, par- exemple, la 100000
fraction * *ï“*» on le verra en Géométrie, exprime le rapport
très-approche du diamètre a la circonférence ; cl proposons-nous d’exprimer cette fraction par d'autres fractions , moins e^acles à la vérité, mais exprimées par des nombres plus simples.
Divisez le numérateur cl le dénominateur par le numérateur ; vous auavoir une première valeur approchée, négligez 1a fraction
qui accompagne o, et vous aurez ^ pour premier# valeur approchée, mais
un peu trop forte. * m
Pour avoir une valeur plus approchée , divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction qui accompagne 3, cliacnn par le numérateur de celte fraction , et vous aurez — : négligez la fraction qui accompagne
et vous aurez ou (86) (lio) ^ pour seconde valeur, qui est plus
> approchée que la première, mais un peu trop (aible.
Pour avoir une valeur encore plus approchée, divisez le numérateur et le dénominateur dû la fraction qui accnmp.ig ne chacun par le numérateur de
; supprimez la fraction qui accompagne i5
celle fraction, vou.s aurez .
r( V 01 U aurez -
Irop Ibrle
^qui revient a ■j-,,,
. bjj
valeur phis approchée, mais un peu*
DE MATHEMATTQÜES.
(yj'
Pour avoir uii^ valeur encore plus rapprochée, divises Jc 4 deux terines de la fraction qui accompagne i5'chacuupar le uuméraleur et vousattrex
- — :nég!fgeantïa^/raclion . voua aurez pour valeur pîus approchée
. ii3
'jSS* ™*i*-*ï'J* faible. On \qit. à présent, comment on pcul^ ^
continuer.
Des Nombres complexes.
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‘■Jk
1 16. Quoique les rè|^es que jious avons exposces jusqu’ici puissent servir aussi à calculer les nombres complexes , nous . crgiyons cependant devoir considérer ceux-ci d’uuc manière , I>lus particulièi'e , parce que la division qu’oii y fait de Tumté principale en facilite souvent le calcul.
Il y a plusieurs sortes de nombres complexes , et /es règles pour les calculer tiennent beaucoup à la division qu’on a faite de l’unité : cependant il n’est pas nécessaire d’examiner toutes' ces espèces pour être en état île les calculer, mais il importe de savoir quels rapports leurs dill'érentes pax'ties ont tant entre elles, qu’à l’égard de l’unité principale j c’est par cette raison que nous donnons ici une table des nombres complexes dont i'usâge est le plus fréquent.
Table des unités de quelques especes, et caractères par lesquels ■ •
OU représente ces
différentes uni^ps.
'm O N A t Vft.
^ signiHe. .
1 livre vMil
10 ftOU^
1 ftou vaut.
l’i den.
POUR Lift POlOft.
signtüe.
I livre
2 " marcs
] marc^ .
8 onces
I once. .
8 gros
t gros. . .
3 dênicnou
ftcnipn]e«
r'<lcnle^ .
UcÈOutl ArithM T
COURS
ruvR t'cTfiivuiir na$ i. lüNté
I toise vaut. . . .
6 piedi.
I pied. ......
• la pouc^*».
1 pouce
. rj lignes.
* 1 lijnc
. VI points.
