On appelle carré d'un nembre, le produit qui résulte

, de la multiplication de ce nombre par lui-même; ainsi 25 est . le câiTé de 5 , parce que 25 résulte de la multiplication de 5 par 5. ’ ' .

130. La racine, carrée d'nn^ nombre proposé , est le nombre qui, multiplié par lui-même, reprodumait ce meme nombre proposé ! ainsi'5 est la racine carrée de 25; 7 est la racinecari-é de 49-

131. Un nombre que l'on carr^ est donc tout à la foisiuiuT- ,, tiplicande et multiplicateur; il est donc deupfois facteur (42 j •> du'prodùit; c'est pour cela qu’on appelle aussi ce produit ou

can-é la seconde puissance de ce nombre.

11 ne faut d’autre art pour carrer uu nombre , que deje multiplier par lui-meme selon les réglés ordinaires de la''maltipli-> cation ; mais ]>our extraire la racine carrée d’un nombre', c’està-dii-e pour revenir du carré à la raciue , il faut une méthode , • du moins lorsque je nombre ou carré proposé a plus de deux chifïres.

• ’ Lorsque le.-xiombre proposé n’a qu’un ou deux cbilfrcs,' sa

* racine ^en nombre entier , est quelau’un des nombres

do it 'es carrés sont " .

Ainsi la racine carrée de 72 , par exemple , est 8 en nombre entier, parce que 72 étant entre 64 et 81 , sa racine est entre les ‘ , racines de ceux-ci, c'est-à-dire entre 8 et 9, et elle est 8 et '

' une. fraction ; fraction qu’à la vérité on ne peut pas. assigner

ÜE^MATHEMATlQUEb. 79

exactement, (Biais dont on peut approcher continuellement, ainsi que nous le vervons dans fieu.

1 32 . La rafine carrée d’un nombre qui n’est point un carré parfait, s’appelle un nombre sourd, ou irrationnel ou incom-, mnensurable.

1 33 . Venons aux nombres qui ont plus de deux chiffres. C’est en observant ce qui se passe dans la formation du carré,

que nous trouverons la métliodc qu’on doit suivre pour revenir

à la racine.

Après avoir cin-il le multiplicande et le multiplicateur, comme ou le voit ici, nous multiplions, comme à l’ordinaire, le 4 supérieur pai’ le 4 inférieur, ce qui fait évidemment le carré des unités.

Nous multiplions ensuite le 5 supérieur par le 4 inférieur, ce qui fait le produit des dixaines par les unitètf.

Nous passons après cela , au secpnd cliîÜ'redu multiplicateur, et nous multiplions le 4 supérieur par le 5 inférieur, ce <jui fait le produit des unités par les dixaines, ou (44)^^ produit des dixaines par les unités.

Enfin nous multiplions le 5 su|)érieur par le S’infcricur , ce qui fait le carré des dixaines.

Nous ajoutons ces produits , et nous avons pour carré le nombre 2gi6, que nous voyons donc être composé du carré des dixaines, plus deux fois le produit des dixaines 'par les unités, plus le carré des «nf/és du nombre 54 '

134. Ce que nous venons d’observer étant une conséquence immédiate des l'ègles de la multiplication , n'est pas plus particulier au nombre 54 qu’à fout autre nombre composé do dixaines et d’unités ; en sorte qu’on peut dire généralement oue

Pour carrer un

nombre tel que' 54 , jiar exemple :

. ' Jâ ' ^ .

if*

: . ■. im

îSih

«O COURS

le carré de tout nomlne (omposé de dixaines ou d’unirés., ren fermera les trois parties que nous venons d’éiionCcr; savoir, le cairé des dixaines de ce nombre, deux fois le’ produit des lUxaines par les uuités , et le carré des unités. '

135. Gela posé, coinme le carré des dixaines est des cenv tailles (puisque lo fois lo font roo), il est visible que ce cai-re des dixaines ne peut faire partie des deux dei nicrs cliiffres du carré total.

Pareillement le produit du double des dixaines multipliées jiar les unités, étant nécessaû'enicnt des dixaines, ne peut faire partie du dernier chiffre du carré total. ^

136. Donc pour revenir du carré 2pi6 à sa racine , ou peut ’ raisonner ainsi :

54 racine

' 4ui , ■ . .

Gonmiençous par trouver les dixaines Oe cette racine ; or , la formation du carré nous apprend qu’il y a dans 2916 le cai'ré de ces dixaines , et que ce carré ne peut faire partie de ses deux derniers cliifli es ; il est donc dans 29 ; et comme la racine carrée > de 29 ne peut être plus de 5-, concluons-en quale nombre <^s dixaines de la racine est 5 , et portons-le à côté de 2916 , comme on le voit ci-dessus. ‘ •

Je carre 5 , et je retranche le produit 25 de 29 ; il me reste 4 à coté duquel j’abaisse les deux autres dhilfres 16 du nombre proposé 2916. ' ' ■»» .

Pour trouver maintenant les unités de la raçine , je fais atten tion à ce que renferme le reste 4'6» contient plus que deux parties du carré, savoir : le double des dixaines de la ra- ' due , multipliées par les unités, et le carré des unités de celte même racine. De ces deux parties, la première suffit pour nous faire trouver les unités que nous cherchons , car puisqu’elle e. si formée du double des dixaines multipliées par les unités , si on

DÇitized Uy CicjQgle

UE MATHEMATIQUES. 8i

la Jivi.se par le double des dixaincs que nous connaissons elle ü

doit { 74) donner pourquotient les unités : il ne s’agit donc plus j

que de savoir dans quelle partie de 4 «6 est renfermé ce double ]

des dixaines multipliées par les unités ; or, nous avons remarqué d

ci-dessus qu’il ne pouvait faire partie du dernier chiffre ; il est j

donc dans 4> i donc diviser 4* P^' I® double lo des 'j

dixaincs trouvées ; j’écris donc sous 4> le double lo des dixaincs, |

et faisant la division , le quotient 4 que je trouve est le nombre |

des unités que je porte à la droite des 5 dixaincs trouvées , en !

sorte que la racine cherchée est 54-

Mais il faut observer que quoique le quotient 4 que nous venons de trouver soit en effet celui qui convient , cependant iJ peut arriver quelquefois que le quotient trouvé de cette manière soit plus fort qu’il ne convient ! parce que 4' (c’est-à-dire la partie qui reste après la séparation du dernier chiffre) renfenue non-seulement le double des dixaines multipliées parles unités, mais encore les dixaines provenant du carré des unités; c’est pourquoi, pour n’avoir aucun doute sur le chiffre des unités, x

il faut employer la vérification suivante.

Apres avoir trouvé le chiffre 4 <les unités , et l’av oir écrit à la racine, je le porte à côte du double lo des dixaines ; ce qui fait io4, dont je multiplie successivement tous les chiffres par le même nombre 4 . j® retranche les produits successifs des parties correspondantes de 4'6> comme il ne reste rien, j’en conclus que la racine est en effet 54-

S’il restait quelque chose , la racine n’en serait pas moins la vraie racine en nombre entier, à moins que ce reste ne fût plus grand que le double de la racine , augmenté de l’unité ; mais c’est ce qu’on n’a pointu craindre , quand on prend le quotient toujours nu plus fort.

La vérification que nous venons d’enseigner est fondée sur la formation meme du carré; car, quand on multiplie io4 par 4. il est évident qu’on forme le carré des unités, et le double de. dixaines multiplié par les unités, c’est-à-dire ce qui conipKt le carré parfait.