De ce que nous venons de dire, il faut conclure que

Üe tout. Arithm. T. 1. fî

82 LüLRS

pour extraire la racine carrée d’uii nombre qui n’a pas plus de quatre chillres, ni moins de trois , il faut, apres en avoir séparé deux sur la droite , chercher la racine carrée de la tranche qui reste à sjauchc ; cette racine sera le nombre des dixaines de la l acinc totale cherchée , et on l’écrira à côté du nombre proposé , en l’en séparant par un trait.

On soustraira de cette même tranche le carré de la racine (|u’on vient de trouver ; et aprc.s avoir écrit le reste au-dessous de cette tranche, on abaissera à côté de ce reste les deux chiffres qu’on avait séparés.

On séparera par un point le chiflre des unités de la tranche qu'on vient d’abaisser, et l’on divisera ce qui se trouve sur la gauche j)ar le double des tli.xaines qu’on éciira au-dessous.

On écrira le quotient à côté du premier chiffre de la racine , et on le portera ensuite à côté du double des dixaines qui a servi de diviseur.

linfin on multipliera par ce même quotient tous les chiffi-cs qui se trouvent sur cette dernière ligne , et on retranchera leurs produits, à mesure qu’on les trouvera, des chiffres qui leur correspondent dans la ligne au-dessus.

Achevons d’éclaircir ceci par un exemple.

On demande la racine carrée de 756 g.

7 5.6 9 I 87 racine.

Je sépare les deux chiffres 69 , et je cherche la racine carrée de 75 ; elle est 8 ; j’écris 8 à côté , je carre 8 et je retranche de 75 le carré 64 ; il me reste 11 que j’écris au-dessous de 75 , et j’abaisse à côté de ce même 1 1 , les chiffres 69 que j’avais séparés.

.le sépare dans 1169, le dernier chiffre 9, pour avoir dans

16 la partie que je dois diviser pour trouver les unités.

DE IMATIIKMATIQUES. 83

Je forme mon diviseur, en doublant les 8 dixaines que j’ai trouvées, et j’écris ce diviseur au-dessous de 1 16 , la division me donne pour quotient 7 que j’écris à la racine , à la droite de 8.

Je porte aussi ce quotient à côté du diviseur 16 ; je multiplie 1 67, qui forme la dernière ligne , par ce meme quotient 7 , et je retranche les produits à mesure que je les trouve : de 1169, il ne reste rien , ce qui prouve que 7569 est un carré parfait et le carré de 87.

i 38 . 11 faut bien remarquer qu’on ne doit diviser par le double des dixaiaes que la seule partie qui reste à gauche , après qu’on a séparé le dernier chiffre j en sorte que si elle ne eontenait pas le double des dixaines , il ne faudi'ait pas pour cela employer le chill're séparé ; on mettrait o à la racine. Si au contraire on trouvait que le double des dixaines y est plus de 9 fois , on ne mettrait cependant pas plus de 9 ; la raison en est la même que pour la division (66).

i 3 g. Après avoir bien compris ce que nous venons de dire sur la racine carrée des nombres qui n’ont pas plus de 4 chiffres , on saisira facilement ce qu'il convient de faire lorsque le nombre des chiffres est plus grand. De quelque nombre de chiffres que la racine doive être composée , on peut toujours la concevoir composée de deux parties dont Tune soit des dixaines et l’autre des unités; par exemple, 874 peut être considéré comme représentant 87 dixaines et 4 unités.

Cela posé , quand on a trouvé les deux premiers chiffres de la racine, par la méthode qu’on vient d’exposer, on peut aussi trouver le troisième par la même méthode , en considérant ces deux premiers chiQ'res comme ne faisant qu’uu seul nombre de dixaines , et leur appliquant, pour trouver le troisième , tout ee qui a été dit du premier pour trouver le second.

Pareillement , quand on aura trouvé les trois premiers chiffres , s’il doit y en avoir un quatrième , on considérera les trois premiers comme ne faisant qu’un seul nombre de dixaines , auquel on appliquera , pour trouver le quatrième , le même raisonnement qu’ou appliquait aux deux premiers pour trouver le troisième, et ainsi de suite.

84 COUKS

Mais pour procéder avec ordre , d faut couimeiicer par partager le nombre proposé en tranches de deux cliilTres cliacune , en allantde droiteàgauche : la dernière pourra n’encontenirqu’un.

ba raison de cette préparation est fondée sur ce que , considérant la racine comme composée de dixaincs et d unités , il faut , suivant ce qui a été dit ci-ilessns ( i 35 et suif. ) , commencer pai séparer les deux derniers chiffres sur la droite , pour avoir , dans la partie qui reste à gauche , le carre des dixaines; mais comme cette partie est elle-même composée de plus de deux chiffres , un raisonnement semblable conduit a en séparer encore deux sur la droite, et ainsi de suite.

Donnons un exemple de cette opération.

On demande la racine carrée de ^68o"6y6.

Après avoir partagé le nombre proposé en tranches de deux chiffres chacune, en allant de droite à gauche, je cherche quelle est la racine carrée de la tranche 76 qui est le plus à gauche , je trouve qu’elle est 8 , et j’écrb 8 à côté du nombre proposé i je carre 8 , et je retranche le carré 64 de 76 ; j’ai pour reste 12 que j’écris au-dessous de 76 ; à côté de ce reste j’abaisse U tranche 80 dont je sépare le dernier chiffre par un point ; et au-dessous de la partie 128, j’écris 16, double de la racine trouvée ; jiuis disant , en 128 combien de fois 1 6 , je trouve qu’il y est 7 fois; j’écris 7 à la suite de la racine 8, et à côté du douille 16; je multiplie 167 par ce même nombre 7 , et je

Diqitize-l'

DE MATHÉMATIQUES, retranche de isSu le produit de cette multiplication; il me reste 1 1 1 , à côté duquel j’abaisse la tranche 76 , ce qui forme 1 1 176 ; je sépare le dernier chiffre 6 de ce nombre , et sous la pa lie 1 1 1 ^ qui reste à gauche , j’écris 1 , double de la racint'

87 ; je divise 1 1 17 par 174 , et ayant trouvé 6 pour quotient . j'écris 6 à la racine et à côté du double 1 74 ; je multiplie 1 74b par ce même nombre 6, et je retranche 10476 de 11176, il r< ste 700 ; à côté de ce reste j’abaisse 96 dont je sépare le dernier chiffre ; au-dessous de 7009 , qui reste à gauche , j’écris 1752, double de la racine trouvée 876 ; et divisant 7009 par 1752, je trouve pour quotient 4 j’écris à la racine et à côté du double 1752. Je multiplie 17524 par ce même nombre 4, et je retranche de 70096 le produit de cette multiplication ; il ne reste rien ; ainsi la racine carrée de 76807696 est exac tement 8764.

i 4 o. Lorsque le nombre proposé n’est point un carré parfait , il y a un reste à la fin de l’opération , et la racine carrée qu’on a trouvée est la racine carrée du plus grand carré contenu dans le nombre proposé : alors il n’est pas possible d’extraire la racine caixée exactement ; mais on peut en approcher si près qu’on le juge à propos , c’est-à-dire de manière que l’erreur qui en résulterait dans le carré , soit au-dessous de telle quantité qu'on voudra.

Cette approximation se fait commodément par le moyen des décimales. Il faut concevoir à la suite du nombre proposé deux fois autant de xéi-o qu’on voudra avoir de décimales à la racine , faire l’opération comme à l’ordinaire, et séparer ensuite par une vh'gule , sur la droite de la racine , moitié autant de décimales qu’on a mis de xéro à la suite du nombre proposé. En effet ( 54 ), le produit de la multiplication devant avoir autant de décimales qu’il y en a dans les deux facteurs ensemble , le carré (dont les deux facteurs sont égaux ) doit donc en avoir le double de ce qu’a l’un des facteurs ; c’est-à-dire le double de ce que doit avoir la racine.

COURS

EXEMPLE IV

Ondemandela radnecairée de 87567 à moins d’un millièine près-

Pour faire des millièmes , il faut trois décimales ; on doit donc mettre 6 zéro au carré 87667 ; ainsi il faut tirer la racine cai-rée de 87667000000.

Ë i L^UL

En faisant l’opération comme dans les exemples précédens, on trouve pour racine carree , à moins d’une unité près , le nombre 296917 ; cette racine est celle de 87667000000 ; mais comme il s'agit de celle de 87667 ou de . 87667 , 000000 , je sépare moitié autant de décimales dans la racine, que j’ai mis de zéro au carré; ce qui me donne 296,917 pour la racine carrée de 87667 , à moins d’un millième près.

Pareillement , si l’on demande la racine carrée de 2 à moins d’un dix-millième près, on tirera laracine carrée de 200000000 qu'on trouvera être i4i4‘> » séparant les quatre chififres de la droite jiar une virgule, on aura i,4i4^ pour la racine can-ée de 2 , approchée à moins d’un dix-millième près.

i 4 >. On a vu (106) que pour multiplier une fraction par une fraction, il fallait multiplier numérateur par numérateur, et dénominateur par dénominateur; par conséquent pour carrer une fraction , il faut carrer le numérateur et le dénominateur ; ainsi le carré de i est | , celui de -, est ~.

1 ^ 1 . Donc réciproqueuicnt , pour tirer la racine carrée d’une

li-action , il faut tirer la racine carrée du numérateur et celle du

dénominateur ; ainsi , la racine carrée de est 7 , pnrce que

ib 4

celle de g est 3 , et celle de 16 est 4-

143. Mais il peut arriver que le numérateur ouledénomina teur , ou tous les deux , ne soient point des carrés parfaits : s’il n’yaque le numérateur qui ne soit point un carré, on en tirerain racine approchée par la méthode qu’on vient d’exposer, et ayant tiré la racine du dénominateur , on la donnera pour dénominateur à la racine du numérateur ; ainsi, si l’on demande la racine de

- , on tirera la racine approchée du numérateur a qu’on trouvera 1,4 ou i,4i ou i,4>4 >>4142» etc., selon qu’on vou-

dra en approcher plus ou moins; et comme la racine carrée de

9 est 3 , on aura pour raciue approchée quantité ^ *

ou ou — ou — , efc.

Mais si le dénominateur n’est pas un carré, on multipliera les deux termes de la fraction par ce même dénominateur , ce qui ne changera rien à la valeur de la fraction, et rendra le nouveau dénominateur un carré ; alors un opérera comme dans le cas

précédent. Par exemple , si l’on demande la racine carrée de >, ,

on changi'ra cette fraction en tirant la racine carrée de i 5

jusqu’à 3 décimales, par exemple, on aura 3,873; et comme

la racine carrée de 3.5 est 5 , la racine carrée de ^ sera —

i 44 - Pour ne pas avoir plusieurs sortes de fractions à la fois ,

on réduira le résultat , uniquement en décimales , eu

divisant 3,87a par 5 , ce qui donnera 0,774 pour la racine de 3 . ,

-, exprimée purement en décimales (gg).

COUKS

145. Enfin, si l’on avait des entiers joints à des fractions, on réduirait ces entiers en fractions ( 86 ) , et on opérerait comme il vient d’être dit pour une fraction. Ainsi , pour tirer la racine

carrée de 8 -, on changerait 8 -en-^, et celle-ci (i43) en 7 7 7

, dont on trouverait que la racine approchée est

ou 2,go3.

146. On peut aussi réduire en décimales la fraction qui accompagne l’entier ; mais il faut obsei-vcr d’y employer un nombre de décimales pair et double de celui qu’on veut avoir à la racine; parce que le produit delà multiplication de deux nombres qui ont des décimales , devant y avoir autant de décimales qu’il y en a dans les deux facteurs ( 54 ) , le carré d’un nombre qui a des décimales, doit en avoir deux fois autant que ce

nombre. En appliquant cette méthode à 8 - , on le transforme

en 8,428671 (99) dont la racine est 2,908, comme cidessus.

i 47- Si l’on avait à tirer la racine carrée d’une quantité décimale, il faudrait avoir soin de rendre le nombre des décimales pair, s’il ne l’est pas ; ce qui se fera en mettant à la suite de ses décimales , i , ou 3 , ou 5 , etc. , zéro : cela n’en change pas lu valeur(3o). Ainsi, pour tirer la racine carrée de2i,g35àmoius d’un millième près, je tire la racine carrée de 2i,g35ooo qui est 4>683 ; c’est aussi celle de 2i,g35. On trouvera de même que celle de 0,542 esta moins d’un millième près 0,786 , et que celle de o,oo54 est à moins d’un millième près 0,078.

i 48 . Quand on a trouve , par la mélliode qui vient d'étre exposée , les trois premiers ebilfres de la racine , on peut ed avoir plusieurs autres avec plus de (àcilité et de promptitude par la division seule , en cette manière.

Trenons pour exemple 7 G 3 ^o 35568 u 3 1 je commence par chercher les trois premiers chilTres de la racine par la méthode ci-dessus : je trouve 873* pour cette racine, et 1674 pnur reste : je mets à coté de ce reste les deux chififres 55 qui suivent la partie 763703 qui a donné les trois premiers cbiiTres. (Je raettrais les trois chitTressuivans, si j'avaU quatre chiirres de la racine ; quatre si

DE MATHÉMATIQUES. 8g

j>n tv.‘>is cinq , et ainti de euite.) Je divise 1 574^5 que j'ai alors, parle double 1^46 racine ; Je trouve pour quotient 90 ; ce sont deux nouveaux chiffres à mettre à la suite de la racine qui par là devient Je carre cette ra-

cine, et je retranche son carré 7637012100 de la partie 763703566$ dont 87390 est la racine ; il me reste 2346$.

Si Je veux avoir de nouveaux chiffres à la racine, comme j'en ai déj 'i cinq, je puis , par la seule division , en trouver 4 • je mettrai, pour cet effet , à la suite du reste 2346$ les deux chiffres restaos 23 du nombre proposé et deux zéro , et divisant 2346$23oo par le double 174760 de la racine trouvée, j’aurai i 34 ^ pour les quatre nouveaux chiffres que je dois joindre à la racine ; mais en partageant le nombre proposé en tranches, de la manière qui a été dite cidessus , on voit que la racine ne doit avoir que six chiffres pour les nombres entiers; donc celte racine est $73901,342, à moins d'un millième prés.

On peut, le plus souvent, pousser chaque division jusqu'à un chiffre de plus , c’est-à-dire jusqu'à autant de chiffres qu'on en a déjà à la racine ; mais il y a quelques cas , rares à la vérité , où l'erreur sur le dernier chiffre pourrait aller jusqu'à cinq unités, au lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins , comme nous venons de le faire, on n'a jamais à craindre même une unité d'erreur sur le dernier chiffre.

Si après avoir trouvé les premiers chiffres de la raciue par la méthode ordinaire, ce qui reste après l'opération faite, se trouvait égal au double de ces premiers chiffres, il faudrait, pour éviter tout embarras, en déterminer encore on par la même méthode ordinaire; après quoi, on trouverait les autres par la méthode abrégée que nous venons d’exposer, qui, comme on le voit assez, s'applique également aux décimales.

Si la racine devait avoir des zéro parmi scs chiffres intermédiaires, dans le cas où ces zéro seraient du nombre des chiffres qu'on détermine par la division, il peut arriver, s'ils doivent être les premiers chiffres du quotient, qu'on ne s’en aperçoive pas , parce que dans la division on ne marque pas les zéro qui doivent précéder sur la gauche du quotient \ le moyen de le distinguer est de faire attention qu'on doit avoir toujours autant de chiffres au quotient qu’on en a mis à la suite du reste ; et par conséquent , quand il y en aura moins , ii en faudra compléter le nombre par des zéro placés sur la gauche de cc quotient.

Au reste , l'abrégé que nous vanons d'exposer est une suite de ce principe général qu'il est aisé de déduire de ce qu'on a vu (i 34 ), savoir, que le carré d'une quantité quelconque composée de deux parties , renferme le carré de la première partie , deux fois la première partie multipliée par la seconde , et le carré de la seconde.

Delà formation des Nombres cubes et de l' extraction de leur Racine.

i4g. Pour former rc <|ii’on appelle le cube d’uii nombre, il

COURS

faut 4’ abord multiplier ce nombre par lui-même, et niuUiplicr ensuite par ce même nombre le produit résultant de cette première multiplication

Ainsi le cube d’un nombre est , à proprement parler, le produit du carré d’un nombre multiplié par ce même nombre : 37 est le cube de 3 , parce qu’il résulte de la multiplication de 9 ( carré de 3 ) par le même nombre 3 .

Le nombre que l’on cube est donc trois fois facteur dans le cube i c’est pour cette raison que le cube est aussi nommé troisième puissance ou troisième degré de ce nombre.

1 5 0. En général, on dit qu’un nombre est élevé à sa seconde, troisième , quatrième , cinquième , etc. , puissance, quand on l’a multiplié par lui-même i ,2, 3 , 4 > 5 , etc. , fois consécutives, ou lorsqu’il est 2 fois , 3 fois , 4 fois , 5 fois , etc . , facteur dans le produit.

1 5 1. La racine cubique d’un cube proposé est le nombre qui , multiplié par son carré , produit ce cube : ainsi 3 est la racine cubique de 27.

1 52 . On n’a donc pas besoin de règles ponr former le cube d'un nombre ; mais pour revenir du cube à sa racine , il faut une méthode. Nous déduirons cette méthode de l’examen de ce qui se passe dans la formation du cube.

Observons cependant qu’on n’a besoin de méthode pour extraire la racine cubique en nombres entiers , que lorsque le nombre proposé a plus de trois chiffres ; car 1000 étant le cube de 10, tout nombre au-dessous de 1000, et par conséquent de moins de quatre chiffres, aura pour racine moins que 10 , c’està-dire moins de deux chiffres.

Ainsi tout nombre qui tombera entre deux de ceux-ci :

1 ,8,27 ,64, 135,216,343,512,729, aura sa racine cubique, en nombre entier, entre les deux nombres correspondans de cette suite :

dont la première contient les cubes.

DE WATIIÉMATJQEES. 9.

153. Tout nombre n’a pas de racine cubique ; mais on peut approcher continuellement d’un nombre qui , étant cubé , appi-oche aussi de plus en plus de reproduii'e ce premier nombre j c’est ce que nous vei'rons après a^ oir appris à trouver la racine d’un cube parfait.

154 . Voyons donc de quelles parties peut être composé le cube d’un nombre qui contiendrait des dixaines et des unités.

Puisque le cube résulte du carré d’un nombre multiplié par ce même nombre , il est essentiel de se rappeler ici ( i34) que le carré d’un nombre composé de dixaines et d'unités, renferme, K" le carré des dixaines ; a’ deux fois le produit des dixaines par les unités ; 3" le carré des unités.

Pour former le cube , il faut donc multiplier ces trois parties par les dixaines et par les unités du même nombre.

Afin d’apercevoir plus distinctement les produits qui en résulteront , donnons à cette opération simulée la forme suivante :

Le carré dea dixaines

Deux fois le produit des dixaines par les uniU's

Le carré des unités Le carré des dixaines

Deux fois le produit des dixaines par les unités

l..e carré des unités

I Lc cube des dixaines.

Deux fois le produit du carré des dixaines mulli-

donnera fpl'® »»ités.

I Le produit des dixaines Ipar le carré des unités.

I Le produit du carré des dixaines multiplié par lei unités.

Deux fois le produit des dixaines par le carré des unités.

Le cube des unités.

Donc en rassemblant ces six résultats et réunissant ceux qui sont semblables, on voit que le cube d’un nombre composé de dixaines et d’unités contient quatre parties , savoir : le cube des dixaines , trois fois le carré des dixaines multiplié par les unités, trois fois les dixaines multipliées par le carré des unités , et enfin le cube des unités.

gî COURS

Formons , d'après cela, le cube d’un nombre compose de dixaines et d’unités , de 43 , par exemple,

i44oo

Nous prendrons donc le cube de 4 qui est 64 ; mais comme ce 4 est des dixaines , son cube sera des mille , parce que le cube de 10 est 1000 ; ainsi le cube de quatre dixaines sera 64000.

3 Ibis 16 , ou 3 fois le carré des 4 dixaines , étant multiplié par les 3 unités , donnera i44 centaines , parce que le caiTé de

10 est 100 ; ainsi ce produitsera i4ioo.

3 fois 4 > ou 3 fois les dixaines étant multipliées par le carré 9 des unités, donneront des dixaines, et ce produitsera 1080.

Enfin le cube des unités se terminera à la place des unités , et sera 27,

En réunissant ces quatre parties , on aura 79607 pour le cube de 43 , cube qu’on aurait trouvé sans doute plus facilement en multipliant 43 par 43 > rt le produit 1849 encore par 43 ; mais

11 ne s’agit pas tant ici de trouver la valeur du cube , que de reconnaître, par l’examen des parties qui le composent, la manière de revenir à sa racine.

i55. Cela posé, voici le procédé de l’extraction de la racine cubique.

EXEMPl.E I.

Soit donc proposé d'extraire la racine cubique de 79^07

Cube. Racine.

Pour avoir la partie de ce nombre qui renferme le cube dos dixaines de la racine, j’en sépare les trois derniers chiftres, dans lesquels nous venons de voir que ce cube ne peut être com* pris , puisqu’il vaut des mille.

DE MATHÉMATiQUES. q3

Je cherche la racine cubique de 79 , elle est 4 ^uc j'écris à côté.

Je cube 4 . et j’ôte le produit 64 de 79 ; il me reste i 5 que j’écris au-dessous de 79.

A côté de i 5 j’abaisse 507 , ce qui me donne i55o7 , dans lequel il doit y avoir 3 fois le carré des 4 dixaines trouvées , multiplié par les unités que nous cherchons , plus 3 ibis ces mêmes dixaines multipliées par le carré des unités , plus enfin le cube des unités.

Je sépare les deux derniers chiffres 07 ; la partie i 55 qui l'este à gauche renferme trois fois le carré des dixaines multiplié par les unités ; c’est pourquoi , afin d’avoir les unités (74) > j® vais diviser cette partie i 55 par le triple du carré des 4 dixaines, c’est-à-dire pai'48.

Je trouve que 48 est 3 fois dans i 55 ; j’écris donc 3 à la racine.

Pour éprouver cette racine , et connaître le reste , s’il yen a , nous pourrions composer les 3 parties du cube qui doivent se trouver dans i 55 o 7 , et voir si elles forment i 55 o 7 ,ou de combien elles en diffèrent : mais il est aussi commode de faire cette vérification en cubant tout de suite 43 . c’est-à-dire en multipliant 43 par 43 , ce qui produit 1849, et multipliant ce produit par 43 , ce qui donne enfin 79507 . Ainsi 43 est exactement la racine cubique.

Si le nombre proposé a plus de 6 chiffres , on raisonnera comme dans l’exemple ci-après.

EXEMI-I. F. M.

Soit proposé d’extraire la racine cubique de 596947688.

Digilized by Coogic

COURS

On considérera sa racine comme composée de dii><<incs d’unités, et par cette raison on commencera par séparer les trois derniers chiffres.

La partie 596947 qui renferme le cube desdixaincs, ayant plus de trois chiffres, sa racine en aura plus d’un , et par conséquent elle aura des dixaines et des unités. Il faut donc pour trouver le cube de ces premières dixaines , séparer les trois chiffres 947.

Cela posé, je cherche la racine cubique de 696; elle est 8, j’écris ce 8 à côté.

Je cube 8 , et jeretranche le produit 5i2 de 5 g 6 , il reste 84, que j’écris au-dessous de 5 g 6 .

A côté de 84 j’abaisse 947 , ce qui me donne 84947 dont je sépare les deux derniers chiffres.

Au-dessous de la partie 849, j’écris 193 qui est le triple carré de la racine 8 , et je divise 849 par 192 ; je trouve pour quotient 4 que j’écris à la racine.

Pour vérifier cette racine , et avoir en même temps le reste , je cube 84, et je retranche le produit 692704 du nombre 5 g 6 g 47 ; j’ai pour reste 4243.

A côté de ce reste j’abaisse la tranche 688 , et considérant la racine 84 comme un seul nombre qui marque les dixaines delà racine cherchée, je sépare les deux derniers chiffres 88 de la tranche abaissée , et je divise la partie 42436 par le triple carré de 84, c’est-à-dire, par 21 168 ; je trouvepour quotient2que j’écris à la suite de 84-

Pour vérifier la racine 842 , et avoir le reste , s’il y en a , je cube 842 , et je retranche le produit 696947688 du nonibrc proposé 696947688 ; et comme il ne reste rien , j’en conclus que 842 est la racine exacte de 696947688.

Il faut encore observer, 1°. que dans le cours de ses opérations , on ne doit jamais mettre plus de 9 à la racine.

2“. Si le chiffre qu’on porte à la racine était trop fort , on s’en apercevrait à ce que la soustraction ne pourrait se faire , et alors on diminuerait la racine suecessivement de i , 2 , 3 , etc. , unités , jusqu’à ce que la soustraction devint possible.

Lorsque le nombre proposé n’est pas un cube parfait , la racine qu’on trouve n’est qu’une racine approchée , et il est rare qu’il soit suffisant de l’avoir en nombre entier. Les décimales sont encore d’un usage très-avantageux pour pousser cette approximation beaucoup plus loin , et aussi loin qu'on le désire , sans que cependant on puisse jamais atteindre à une racine exacte.

156 Pour approcher aussi près qu’on le voudra de la racine cubique d’un cube imparfait , il faut mettre à la suite de ce nombre trois fois autant de zéro qu’on veut avoir de décimales à la racine ; faire l'extraction comme dans les exemples précédens , et après l’opération faite , séparer par une virgule sur la droite de ia racine, autant déchiffrés qu’on voulait avoir de décimales.

EXEMPLE tii.

On demande d’approcher de la racine cubique de jusqu’à moins d’un centième près. Pour avoir des centièmes à la racine , c’est-à-dire deux décimales , il faut que le cube ou le nombre proposé en ait six (54) ; il faut donc mettre six zéro à la suite de S^ôS.

Ainsi la question se réduit à tirer la racine cubique de 8755000000.

Suivant ce qui a été dit ci-dessus, je partage ce nombre en tranches de trois chiffres chacune, en allant de droite a gauche.

COURS

Je tire la racine cubique de la dernière tranche 8, elle est 7. , (|ue j’éciis à la racine. Je cube a, et je retranche le produit de 8 j j’ai pour reste o, à côté duquel j’abaisse la tranche 755, dont je sépare les deux derniers chilFrcs 55 : au-dessous de la partie restante 7 , j’écris 12 , triple carré de la racine ; et divisant 7 par 12 , je trouve o pour quotient que j’écris à la racine.

Je cube la racine 20 , ce qui me donne 8000 que je retranche de 8755 ; j’ai pour reste ’]55 , à côté duquel j’abaisse la tranche 000 , dont je sépare deux chilFres sur la droite ; au-dessous de la partie restante 7 55 o j’écris 1200 , triple carré de la racine 20, et divisant 7550 pai‘i200, j’ai pour quotient ô que j’écris à la racine.

Je cube la racine 206, et je retranche le produit de 8755000; j’ai pour reste 1 3 184 , à côté duquel j’abaisse la dernière tranche 000, dont je sépare les deux derniers chiffres. Au-dessous de la pai’tie restante i 3 1840 , j’écris 127308, triple carré de la racine trouvée 20O. Je divise i 3 i 84 o par 127308; je trouve pour quotient i , que j’écris a la suite de 206. Je cube 2061 , et ayant retranché de 8755000000 le produit 8754552981 , j’ai pour reste 447019-

La racine cubique approchée de 8755000000 est donc2oGi ; donc celle de 8755,000000 est 20, Ci , puisque le cube a trois fois autant de décimales que sa racine ( 54 )-

Si l’on voulait pousser l’approximation plus loin , on mettrait à la suite du reste trois zéro , et on continuerait comme on a fait à chaque fois qu’on a descendu une tranche.

57. Puisque pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur , il faudra donc , [lour cuber une fraction , cuber son numérateur et son dénominateur. Donc réciproquement pour extraire la racine cubique d’une fraction , il faudra extraire la racine cubique du numérateur et la racine

cubique du dénominateur. Ainsi la racine cubique de —7 est - ,

parce que la racine cubique de 27 est 3 , et celle de 64 est 4’

i 58 . Mais si le dénominateur seul est un cube , on tirera la

racine approchée du numérateur , et on donnera à cett racine pour dénominateur la racine cubique du dénominateur. Par

exemple , si l’on demande la racine cubique de , comme le

numérateur n’est pas un cube , j’en tire la racine approchée , qui sera 5,22 à moins d’un centième près ; et tirant la racine

, iA 3

de 343 qui est n, j’ai — pour la racine approchée de 5—;

ou bien en réduisant en décimales ( go ) , j’ai 0,74 pour cette racine approchée à moins d’un centième près.

i 5 g. Si le dénominateur n’est pas un cube, on multipliera les deux termes de la fraction par le carré de ce dénominateur , et aloi's le nouveau dénominateur étant un cube , on se conduira < ümme il vient d’être dit. Par exemple , si l’on demande la ra-

cine cubique de - ,je multiplie le numérateur et le dénominateur par 49, carré du dénominateur 7 , j’ai

même valeur que La racine cubique de est — ou en 7 . 7

réduisant purement en décimales , 0,75. La racine cubique de

- est donc 0,75 à moins d’un centième près.

S’il y avait des entiers joints aux fractions, on convertirait le tout en fraction , et la question serait réduite à tirer la racine cubique d’une fraction { > 5 n et suiv. )

On pourrait aussi , soit qu’il y ait des entiers , soit qu’il n’y en ait point , réduire la fraction en décimales ; mais il faut avoir soin de pousser cette réduction jusqu’à trois fois autant de décimales qu’on veut en avoir à la racine. Ainsi , si l’on deman-

dait la racine cubique de 7 — approchée jusqu’à moins d’un

millième, on changerait la fraction — en 0,272727272 ; en Üeioitt. Ârithm. T, 1. ^

ÿ8 COURS

sorte que pour avoir la racine cubique de 7 —, on tirerait celle

de 7,273727272 qu’on trouvera être 1,937.

160. Pour tirer la racine cubique d’un nombre qui aura des décimales , il faudra le préparer par un nombre suffisant de zéro mis à sa suite , de manière que le nombre de ces décimales soit ou 3 , ou 6 , ou 9 , etc. ; alors on en tirera la racine comme s’il n’y avait poiut de virgule ; et après l’opération faite , on séparera sur la droite de la racine , par une virgule , un nombre de chiflres qui soit le tiers du nombre des décimales de la quantité proposée, en sorte que si la racine n’avait pas suffisamment de chiffres pour que cette règle eût son exécution , on y suppléerait par des zéro placés sur la gauche de cette racine. Ainsi pour tirer la racine cubique de 6,54 ^ >uoins d’un milUème près, je mettrai sept zéro, et je tirerai la racine cubique de 654ooooooo qui sera 1870; j’en séparerai trois chiffres, puisqu’il y a 9 décimales au cube, et j’aurai 1,870, ou simplement 1 ,87 pour la racine cubique de 6,54- On trouvera de même que celle de 0,0006, approchée à moins d’un centième près , est 0,08.

Quand on a trouvé lea quatre premiera chifirea de la racine cubique par la méthode qu'on vient d'expliquer, on peut trouver les autres plus promptement par la division , et cela de la manière suivante.

Qu'on demande la racine cubique de 5264627832';23456 : j'en cherche les quatre premiers chiiTrea par la méthode ordinaire; ila aont 1739, elle reate de ropéraiion eatSGSi^i^; â côté de ce reate, je meta lea deux chUfres 7a qui auivent la partie 6264627832 qui a donné lea quatre premiera chiffres. (Je mettraia lea trois chiffres qui suivent cette même partie, ai la racine trouvée avait cinq chiffres, et Ica quatre ai elle en avait six. ) Je divise 568 i 4 i 37 ^ p*^ 9072363 , triple carré de la racine 1 789 ; j'ai pour quotient 62 , et ce aont deux nouveaux chiffres à mettre à la suite de 1739; en aorte que 178962 est, en nombre entier , la racine cubique du nombre proposé.

Si l'on voulait pousser plus loin , on cuberait cette racine, étayant retran* ché le produit du nombre proposé, on Tuettrait à la suite du reste quatre zéro, et on diviserait le tout parle triple du carré de in3962, ce qui donnerait quatre décimales pour la racine.

On fera ici la meme observation qu'on a faite (148) sur le cas où la division ne donne pas autant de chiffres qu'elle doit en donner. Et dans ces divisions on s’aidera de la règle abrégée qui a été donnée (69 et tuiv.)

9 fr

Des Raisons, Proportions et Progressions, et de quelques règles qui en dépendent.

163. Les mots raison et rapport ont la même signification en Mathématiques , et l’un et l’autre expriment le résultat de la comparaison de deux quantités.

1 63 . Si dans la comparaison de deux quantités on a pour but de connaître de combien l’une surpasse l’autre , ou en est surpassée , le résultat de cette comparaison , qui est la difiérence de ces deux quantités , se nomme leur Rapport arithmétique.

Ainsi, si je compare i 5 avec 8 pour connaître leur différence J , ce nombre 7 , qui est le résultat de la comparaison , est le rapport arithmétique de i 5 à 8.

Pour marquer que l’on compare deux quantités sous ce point de vue , on sépare l’une de l’autre par un point , en sorte que i 5.8 marque que l’on considère le rapport arithmétique de i 5 à 8.

164. Si, dans la comparaison ae deux quantités, on se propose de connaître combien l’une contient l’autre , ou est contenue en elle , le résultat de cette comparaison se nomme leur Rapport géométrique. Par exemple, si je compare 12 à 3 pour savoir combien de fois 13 contient 3 , le nombre 4 <]ui exprime ce nombre de fois est le rapport géométrique de 1 2 à 3 .

Pour marquer que l’on compare deux quantités sous ce point de vue, on sépare l’une de l’autre par deux points : cette expression 12:3 marque que l’on considère le rapport géométrique de 12 à 3 .

1 65 . Des deux quantités que l’on compare , celle qu’oii énonce ou qu’eu écrit la première , se nomme antécédent , et la seconde se nomme conséquent. Ainsi dans le rapport 12 : 3 , 12 est l’antécédent , et 3 est le conséquent ; l’un et l’autre s’appellent les termes du rapport.