CO LUS

Puisque le terme ehcrehé doit être le centième , il y .iclono 09 termes avant lui ; il est donc composé du premier terme 4 ^t de 99 fois la raison 5 , il est donc 4 plu* 495 . c’est-à-dire 499-

209. 2". Ce même principe sert à lier deux nombres quelconques par une suite de tant d’autres nombres qu’on voudra , de manière que le tout forme une progression arithmétique ; ce qu’on appelle insérer entre deux nombres donnés plusieurs moyens proportionnels arithmétiques , ou simplement plusieurs moyens arithmétiques.

Par exemple, on peut lier i et 7 par 5 nombres qui fassent une progression ai-ithmétique avec i et 7; ces nombres sont 2, 3, 4> 5,6; mais comme il n’est pas toujours aisé de voir, du premier coup d’œil , quels doivent être ces nombres , voici conimenton peut les trouver à l’aide du principe que nous venons de poser.

Il ne s’agit que de trouver la raison qui doit régner dans cette progression.

Or le plus grand des deux nombres proposés devant être le dernier terme de la progressioti , doit être composé du premiei’, c’est-à-dire du plus petit de ces deux nombres , plus autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui ; donc si du plus grand de ces deux nombres on reti’anche le plus petit, le reste sera composé d’autant de fois la raison qu’il doit y avoir de termes avant le plus grand, c’est-à-dire qu’il est le produit de la multiplication de cette raison par le nombre des termes qui ])récèdent le plus grand -. donc (74) si l’on divise ce reste par le nombre des termes qui doivent précéder le plus grand, on aura ■ cette raison.

Or le nombre des termes qui doivent précéder le plus grand est plus grand d’une unité que le nombre des moyens qu’on veut insérer entre les deux ! donc, pour insérer entre deux nombres donnés autant de moyens arithmétiques qu on voudra , il faut retrancher le plus petit de ces deux nombres , du plus grand, et diviser le reste par le nombre des moyens augmenté d’une unité.

i..e quotient sera la différence ou la raison qui doit régner ■laiis la progression.

DE MATllÉiMATIQUES. ii>

Par exemple , si entre 4 et 1 1 on demande d’insérer 8 moyens aj'ithmétiques, je retranche 4 de 1 1, il me reste 7 que je divise

par 9, nombre des moyens augmenté de l’unité; le quotient^

est la dificrence qui doit régner dans la progression, qui sera par conséquent :

Pareillement , si l’on demandait neuf moyens arithmétiques entre o et i , retranchant o de 1 , il reste 1 qu’il faudrait diviser par 10 , nombre des moyens augmenté de l’unité , ce qui donne

— ouo, I pour la raison. Et par conséquent la progression sera

210. On voit par là qu’entre deux nombres, si voisins qu’ils puissent être l’un de l’autre , on peut toujours insérer tant de moyens arithmétiques qu’on voudra.

Nous n’en dirons pas davantage sur les progressions arithmétiques que nous ne traitons ici que par rapport aux logarithmes dont nous parlerons plus bas ; nous aurons occasion d’y revenir ailleurs.

Des Progressions géométriques.

211 La progression géométrique est une suite de termes dont chacun contient celui qui le précède, ou est contenu en lui , le même nombre de fois. Par exemple , cette suite 1 -ir 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 : 192

est une progression géométrique , parce que chaque terme contient celui qui le précède , le même nombre de fois qui y est ici 2.

Ce nombre de fois est ce qu’on appelle la raison de la progression.

Les quatre points qui précèdent la progression ont la même signification que les deux points qui précèdent la progression .arithmétique (2o4). Mais on en met quatre pour avertir que la orogression est géométrique.

«a6 COURS

La progression est dite croissante ou décroissante , selon que les termes vont en augmentant ou en diminuant.

Pious considérerons toujours la progression géométrique comme croissante, parce que les pi'opriétés sont les mêmes dans l’une et dans l’autre , en changeant le mot de multiplier en celui de diviser, et celui de contenir en celui de être contenu.

Puisque le second terme contient le premier autant de fois ' qu’il y a d’unités dans la raison , il est donc composé du premier multiplié par la raison.

Puisque le troisième terme contient le premier autant de fois qu'il y a d’unités dans la raison, il est donc composé du second multiplié par la raison , et par conséquent du premier multiplié par la raison , et encore multiplié parla raison ; c’est-à-dire , du premier multiplié par le carré, ou la seconde puissance de la raison.

Puisque le quatrième terme contient le troisième autant de fois qu’il y a d’unités dans la raison , il est donc composé du troisième multiplié par la raison , et par conséquent du premier multiplié par le carré de la raison , et encore multiplié pai' la raison; c’est-à-dire , multiplié par le cube , ou la troisième puissance de la raison.

Par exemple , dans la progression ci-dessus , 6 est composé du premier terme 3 multiplié par la raison 2; 12 est composé du premier terme 3 multiplié parle carré 4 de le raison 2 ; 24 est composé du premier terme 3 multiplié par le cube de la raison 2.

212. En continuant le même raisonnement, on voit qu’un terme quelconque de la progression géométrique est composé du premier multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précédent ce terme quelconque.

Donc , si le premier terme de la progression est l’unité , chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent , car la multiplication par le premier terme qui est l’nuité , n’augmente point le produit.

Pour élever un nombre à une puissance proposée , à la septième, par exemple, il faut, suivant l’idée que nous avons donnée des puissances , multiplier ce nombre par lui-méme six fois consécutives. Ainsi, pour élever 2 à la septième puissance, je dirai 2 fois 2 font 4i 2 fois 4 font 8 , 2 fois 8 font 16,2 fois 16 font 32 , 2 fois 32 font 64 , a fois 64 font 128 , ce qui serait la septième puissance de 2 ; mais on peut abréger l’opération en diverses manières; par exemple, je puis“d’abord carrer 2, ce qui fait 4 i cuber 4 ce qui donne 64 , et multiplier 64 par 2 , ce qui fait 128 ; ou bien je puis cuber 2, ce qui donne 8 ; carrer 8 , ce qui donne 64 , et mulfiplier 64 par 2 , ce qui donne 128 ; en un mot , peu importe de quelle façon on s’y prenne , poui'vii que 2 se trouve 7 fob facteur dans le produit.

213. Le principe que nous venons de poser (212) sur la formation d’un terme quelconque d’une progression, et laremarque que nous venons de faire , peuvent servir à calculer tel terme qu’on voudi'a de la progression , sans être obligé de calculer ceux qui le precedent. Si l’on demande , par exemple, quel se ■ rait le douzième terme de la progression